Олег задумал трехзначное натуральное число n и посчитал сумму его цифр s.
а) Может ли $n \cdot s = 3402 ?$
б) Может ли $n \cdot s = 6912 ?$
в) Известно, что $n \cdot s больше 1786$ Найдите наименьшее возможное значение выражения $n \cdot s$
а) Может ли $n \cdot s = 3402 ?$
б) Может ли $n \cdot s = 6912 ?$
в) Известно, что $n \cdot s больше 1786$ Найдите наименьшее возможное значение выражения $n \cdot s$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Да, например, $189 \cdot ( 1 + 8 + 9 ) = 3402$
б) Заметим, что $6912 = 3 ^3 \cdot 2 в степени 8$ Если n кратно 9, то и s кратно 9, и тогда $n \cdot s$ кратно 81. Если же n не кратно 9, то и s не кратно 9, и тогда $n \cdot s$ не может быть кратно 33.
в) Заметим, что $1792 = 224 \cdot ( 2 + 2 + 4 )$ Осталось доказать, что числа 1787, 1788, 1789, 1790, 1791 не подходят. Заметим, что $s меньше или = $\frac{1791}{100}$ меньше 18$ то есть $s меньше или = 17$ Поэтому если указанное нам число имеет простой делитель, больший 17, то он входит в разложение n.
Число 1787 простое (достаточно проверить делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Рассмотрим $1788 = 2 ^2 \cdot 3 \cdot 149$ но числа
$149$
$149 \cdot 2=298$
$149 \cdot 3 = 447$
$149 \cdot 4 = 596$
$149 \cdot 6 = 894$
не подходят. Число 1789 простое (достаточно проверить делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). $Число 1790 = 2 \cdot 5 \cdot 179$ но числа
179,
$179 \cdot 2 = 358$
$179 \cdot 5 = 895$
не подходят. Осталось число $1791 = 3 ^2 \cdot 199$ но числа 199 и $199 \cdot 3 = 597$ не подходят
Ответ: а) да; б) нет; в) 1792.
б) Заметим, что $6912 = 3 ^3 \cdot 2 в степени 8$ Если n кратно 9, то и s кратно 9, и тогда $n \cdot s$ кратно 81. Если же n не кратно 9, то и s не кратно 9, и тогда $n \cdot s$ не может быть кратно 33.
в) Заметим, что $1792 = 224 \cdot ( 2 + 2 + 4 )$ Осталось доказать, что числа 1787, 1788, 1789, 1790, 1791 не подходят. Заметим, что $s меньше или = $\frac{1791}{100}$ меньше 18$ то есть $s меньше или = 17$ Поэтому если указанное нам число имеет простой делитель, больший 17, то он входит в разложение n.
Число 1787 простое (достаточно проверить делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). Рассмотрим $1788 = 2 ^2 \cdot 3 \cdot 149$ но числа
$149$
$149 \cdot 2=298$
$149 \cdot 3 = 447$
$149 \cdot 4 = 596$
$149 \cdot 6 = 894$
не подходят. Число 1789 простое (достаточно проверить делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17). $Число 1790 = 2 \cdot 5 \cdot 179$ но числа
179,
$179 \cdot 2 = 358$
$179 \cdot 5 = 895$
не подходят. Осталось число $1791 = 3 ^2 \cdot 199$ но числа 199 и $199 \cdot 3 = 597$ не подходят
Ответ: а) да; б) нет; в) 1792.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 1792
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66573 • Задание №10
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре CC1 отмечена точка М так, что СМ : С1М = 1 : 3...
ID 71684 • Задание №19
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $левая круглая скобка n\geqslant3 п...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...