Дано натуральное число n. За один ход разрешается либо прибавить к числу его наибольший делитель, не равный самому числу $( d_max меньше n )$ либо вычесть из числа его наименьший делитель, больший 1 $( d_min больше 1 )$
а) Можно ли за несколько таких ходов из числа 4 получить число 15?
б) Можно ли за несколько таких ходов из числа 10 получить число 13?
в) Какое наименьшее количество ходов потребуется, чтобы из числа 2 получить число 60?
а) Можно ли за несколько таких ходов из числа 4 получить число 15?
б) Можно ли за несколько таких ходов из числа 10 получить число 13?
в) Какое наименьшее количество ходов потребуется, чтобы из числа 2 получить число 60?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Да, например,
$4 + 2 = 6$
$6 + 3 = 9$
$9 + 3 = 12$
$12 - 2 = 10$
$10 + 5 = 15$
б) Пусть дано составное число, наибольший делитель которого равен a, а наименьший — b, кроме делителей n и 1. Следовательно, число = ab, а получается из него либо как $ab + a = a ( b + 1 )$ либо как $ab - b = b ( a - 1 )$ В первом случае результат — составное число. Во втором случае результат может быть простым, но только если $a = 2$ но тогда $b ( a - 1 ) меньше или = 2 \cdot 1 = 2 меньше 13$
Если же выполнять действия с простым числом p, то из него получается либо $p + 1$ либо 0. Таким образом, получить число 13 нельзя ни из числа 10, ни из какого-либо другого.
в) Рассмотрим цепочку превращений
$2 + 1 =3$
$3 + 1 = 4$
$4 + 2 = 6$
$6 + 3 = 9$
$9 + 3 = 12$
$12 + 6 = 18$
$18 - 3 = 15$
$15 + 5 = 20$
$20 + 10 = 30$
$30 + 15 = 45$
$45 + 15 = 60$
В ней 11 действий.
Допустим, можно справиться за 10 или менее действий. Если на каком-то шаге получается число, которое уже встречалось, то выписывать его не будем, поскольку получить его можно было раньше. Следовательно, 5 начальных действий определены однозначно:
$2 + 1 =3$
$3 + 1 = 4$
$4 + 2 = 6$
$6 + 3 = 9$
$9 + 3 = 12$
Осталось 5 или менее действий. При этом каждое действие увеличивает число максимум в
$\frac{a ( b + 1 )}{ab} = $\frac{b + 1}{b}$ = 1 + $\frac{1}{b}$ меньше или = 1 + $\frac{1}{2}$ = 1,5$ раза.
Значит, за 2 действия число может увеличиться максимум в $1,5 ^2$ раз, за три — максимум в $1,5 ^3$ раз и так далее. Следовательно, на 9 действии нужно иметь число, не меньшее 40, на восьмом — не меньшее $40 \cdot $\frac{2}{3}$ больше 26$ то есть не меньшее 27, на седьмом — не меньшее $27 \cdot $\frac{2}{3}$ = 18$ на шестом — не меньшее $18 \cdot $\frac{2}{3}$ = 12$ Таким образом, число 12, полученное на 5 действии, нельзя уменьшать. Продолжаем цепочку:
$12 + 6 = 18$
$18 + 9 = 27$
Число 27 также уже нельзя уменьшать, поэтому
$27 + 9 = 36$
$36 + 18 = 54$
Из числа 54 получить 60 за одно действие нельзя, поэтому для получения из числа 2 числа 60 потребуется минимум 11 действий.
Ответ: а) да; б) нет; в) 11.
$4 + 2 = 6$
$6 + 3 = 9$
$9 + 3 = 12$
$12 - 2 = 10$
$10 + 5 = 15$
б) Пусть дано составное число, наибольший делитель которого равен a, а наименьший — b, кроме делителей n и 1. Следовательно, число = ab, а получается из него либо как $ab + a = a ( b + 1 )$ либо как $ab - b = b ( a - 1 )$ В первом случае результат — составное число. Во втором случае результат может быть простым, но только если $a = 2$ но тогда $b ( a - 1 ) меньше или = 2 \cdot 1 = 2 меньше 13$
Если же выполнять действия с простым числом p, то из него получается либо $p + 1$ либо 0. Таким образом, получить число 13 нельзя ни из числа 10, ни из какого-либо другого.
в) Рассмотрим цепочку превращений
$2 + 1 =3$
$3 + 1 = 4$
$4 + 2 = 6$
$6 + 3 = 9$
$9 + 3 = 12$
$12 + 6 = 18$
$18 - 3 = 15$
$15 + 5 = 20$
$20 + 10 = 30$
$30 + 15 = 45$
$45 + 15 = 60$
В ней 11 действий.
Допустим, можно справиться за 10 или менее действий. Если на каком-то шаге получается число, которое уже встречалось, то выписывать его не будем, поскольку получить его можно было раньше. Следовательно, 5 начальных действий определены однозначно:
$2 + 1 =3$
$3 + 1 = 4$
$4 + 2 = 6$
$6 + 3 = 9$
$9 + 3 = 12$
Осталось 5 или менее действий. При этом каждое действие увеличивает число максимум в
$\frac{a ( b + 1 )}{ab} = $\frac{b + 1}{b}$ = 1 + $\frac{1}{b}$ меньше или = 1 + $\frac{1}{2}$ = 1,5$ раза.
Значит, за 2 действия число может увеличиться максимум в $1,5 ^2$ раз, за три — максимум в $1,5 ^3$ раз и так далее. Следовательно, на 9 действии нужно иметь число, не меньшее 40, на восьмом — не меньшее $40 \cdot $\frac{2}{3}$ больше 26$ то есть не меньшее 27, на седьмом — не меньшее $27 \cdot $\frac{2}{3}$ = 18$ на шестом — не меньшее $18 \cdot $\frac{2}{3}$ = 12$ Таким образом, число 12, полученное на 5 действии, нельзя уменьшать. Продолжаем цепочку:
$12 + 6 = 18$
$18 + 9 = 27$
Число 27 также уже нельзя уменьшать, поэтому
$27 + 9 = 36$
$36 + 18 = 54$
Из числа 54 получить 60 за одно действие нельзя, поэтому для получения из числа 2 числа 60 потребуется минимум 11 действий.
Ответ: а) да; б) нет; в) 11.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 11
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67508 • Задание №13
а) Решите уравнение $синус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби пра...
ID 70017 • Задание №17
Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...