а)  Да, например:

$2 + 4 + ... + 44 + 46 + 66 + 7 + 17 + 27 + 37 + 47 + 57= $\frac{2 + 46}{2}$ \cdot 23 + 66 + 192=810$ $2 + 4 + ... + 44 + 46 + 66 + 7 + 17 + 27 + 37 + 47 + 57=$
$= $\frac{2 + 46}{2}$ \cdot 23 + 66 + 192=810$

б)  Пусть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7. Тогда на доске написано 28 четных чисел. Их сумма не меньше, чем:

$2 + 4 + ... + 54 + 56= $\frac{58 \cdot 28}{2}$ =812$

Это противоречит тому, что сумма равна 810, то есть на доске не может быть двух чисел, оканчивающихся на 7.

в)  Заметим, что число 810 кратно 2, сумма четных чисел кратна двум, тогда и сумма чисел, оканчивающихся на 7, тоже кратна двум. Чтобы сумма нечетных чисел делилась на два, слагаемых должно быть четное количество. В пункте б) показано, что на доске не может быть два числа, оканчивающихся на 7, тогда наименьшее возможное количество таких чисел  — 4.
Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, оканчивающихся на 7:

$( 2 + 4 + ... + 30 + 32 ) + ( 36 + 38 + ... + 52 + 54 ) + 7 + 17 + 27 + 37=$
$= $\frac{2 + 32}{2}$ \cdot 16 + $\frac{36 + 54}{2}$ \cdot 10 + 88=810$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  4.