а)  В пятницу Петя решил половину оставшихся задач и еще одну, значит, эта одна  — вторая половина остававшихся задач, а всего их оставалось две. В четверг Петя решил половину оставшихся задач и еще одну, при этом осталось две. Значит, половина оставшихся задач состояла из 2 + 1  =  3 задач, а всего задач было 6. Аналогично в среду было решено $2 \cdot ( 6 + 1 ) - 6=8$ задач, а всего к среде оставалось решить $2 \cdot ( 6 + 1 ) = 14$ задач. Во вторник было решено $2 \cdot ( 14 + 1 ) - 14=16$ задач, а оставалось ко вторнику не решено $2 \cdot ( 14 + 1 ) = 30$ задач. В понедельник было решено $2 \cdot ( 30 + 1 ) - 30= 32$ задачи, а всего нужно было решить $2 \cdot ( 30 + 1 ) = 62$ задачи.
б)  Рассмотрим последовательность $b_n = a_n + 2$ тогда

$b_n + 1 = a_n + 1 + 2 = $\frac{a_n}{2}$ - 1 + 2 = $\frac{b_n - 2}{2}$ + 1 = \frac{b_n}{2}$

Последовательность bn  — геометрическая прогрессия со знаменателем  $\frac{1}{2}$ Очевидно, что an целое тогда и только тогда, когда bn целое. Значит, последний член последовательности bn получается разложением b1 на простые множители и вычеркиванием из полученной записи всех множителей, равных 2.
Итак, если $a_1 + 2 = 2 в степени k \cdot x$ где x нечетно, то последним членом последовательности bn станет x, а последним членом an станет x – 2. Если, конечно, $x не = 1$ Если же x  =  1, то в какой-⁠то момент получим bn  =  4, откуда an  =  2 и an + 1  =  0, что недопустимо, поскольку нуль не натуральное число, а потому последовательность остановится на двойке.
в)  Если $a_1 = 100 = 10 ^2$ то

$a_2 = $\frac{100}{2}$ - 1 = 49 = 7 ^2$

поэтому два квадрата возможны.
Пусть в последовательности как минимум три члена. Тогда

$a_n = 2 ( a_n + 1 + 1 )$
и
$a_n - 1 = 2 ( a_n + 1 ) = 2 ( 2 ( a_n + 1 + 1 ) + 1 ) = 4a_n + 1 + 6$

что кратно 2, но не кратно 4, и потому не может быть квадратом. Значит, из трех подряд членов последовательности первый быть квадратом не может. Следовательно, в любой последовательности только последние два члена могут быть квадратами, поэтому их не более двух.

Ответ: а)  62; б)  если $a_1 = 2 в степени k - 2$ то 2, в противном случае $x - 2$ где x  — наибольший нечетный делитель числа a1 + 2; в)  2.