а)  Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

б)  Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше $\frac{5}{5 + 9} = \frac{5}{14}$ что больше $\frac{4}{13}$ Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку $\frac{7}{7 + 9} = $\frac{7}{16}$ больше \frac{2}{5}$ но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе  — 10.

в)  Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой  — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.
Пусть в группе $m_1$ мальчиков, посетивших театр, $m_2$ мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
Из условия:

$\frac{m_1}{m_1 + d} меньше или = $\frac{4}{13}$ , $\frac{m_2}{m_2 + d}$ меньше или = \frac{2}{5}$

значит, $\frac{m_1}{d} меньше или = $\frac{4}{9}$ , $\frac{m_2}{d}$ меньше или = \frac{2}{3}$ Тогда $\frac{m_1 + m_2}{d} меньше или = \frac{10}{9}$ поэтому доля девочек в группе:

$\frac{d}{m_1 + m_2 + d} = \frac{1}{$\frac{m_1 + m_2,}{d}$ + 1} больше или = \frac{1}{$\frac{10,}{9}$ + 1} = \frac{9}{19}$

Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна $\frac{9}{19}$

Ответ: а)  да; б)  10; в) $\frac{9}{19}$