а)  Пусть в день с номером k записано к чисел 3 и 12 − 2k чисел 1. Тогда сумма чисел в этот день равна 12 + k. Таким образом, n может быть равным 6.
б)  Пусть n  =  4, в первый день на доску записали число 2 и двенадцать чисел 3, во второй день  — двенадцать чисел 4, в третий день  — шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день  — десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38, во второй  — 48, в третий  — 49, а в четвёртый  — 50. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, = $целая часть: 2, дробная часть: числитель: 12, знаменатель: 13 меньше 3$ а среднее арифметическое всех записанных чисел = $целая часть: 4, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 46 больше 4$
в)  Заметим, что в первый день на доску было записано не более 6 чисел. Значит, если n > 5, то в шестой день на доску было записано одно число. Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел, записанных в первый день, = й 6. Таким образом, $n меньше или = 5$
Если n  =  5, то в пятый день на доску было записано не более двух чисел, а их сумма не превосходит 10. Значит, суммы чисел, записанных в четвёртый, третий и второй дни, не превосходят 9, 8 и 7 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 40.
Если n  =  4, то в четвёртый день на доску было записано не более трёх чисел, а их сумма не превосходит 15. Значит, суммы чисел, записанных в третий и второй дни, не превосходят 14 и 13 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 48.
Если n  =  3, то в третий день на доску было записано не более четырёх чисел, а их сумма не превосходит 20. Значит, сумма чисел, записанных во второй день, не превосходит 19, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 45.
Если n  =  2, то во второй день на доску было записано не более пяти чисел, а их сумма не превосходит 25. Значит, сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 31.
Если n  =  1, то сумма всех записанных чисел равна 6. Таким образом, сумма всех записанных чисел не превосходит 48. Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равняться 48. Пусть n  =  4, и в первый день быта записаны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1: во второй  — 2, 2, 3, 3, 3: в третий  — 3, 3, 4, 4; в четвёртый  — 5, 5, 5. Тогда суммы записанных в эти дни чисел соответственно равны 6, 13, 14 и 15, то есть числа удовлетворяют условиям задачи, а их сумма равна 48.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  48.