Главная / ЕГЭ Математика. Профильный уровень / Задание №19 / ID 71841
ID 71841 ЕГЭ Математика. Профильный уровень Линия №19 СдамГИА ID: 692910 Т1. Планиметрия
✈️ TG ВК Следующая ⏭️
В турнире по футболу на кубок Содружества участвовали 6 команд из России и 12 команд из других стран СНГ. При победе в матче команда получала 2 очка, в случае ничьей 1 очко, при поражении 0 очков. После окончания турнира оказалось, что все команды набрали разное количество очков. При этом сумма очков российских команд была равна сумме очков всех команд из других стран.
а)  Могли ли все российские команды не проиграть ни одного матча с командами из других стран?
б)  Могли ли российские команды побеждать во всех матчах с командами из других стран?
в)  Может ли в тройке призеров турнира не быть ни одной российской команды?
💡 Пошаговый разбор и решение:
В каждой игре раздаются игрокам по 2 очка, поэтому всего будет роздано $\frac{18 \cdot 17}{2} \cdot 2 = 306$ очков, из которых 153 должны получить российские команды и 153  — прочие. Заметим, что прочие команды получают $\frac{12 \cdot 11}{2} \cdot 2 = 132$ очка в играх между собой, поэтому еще $153 - 132 = 21$ очко они набирают в играх с российскими командами. Значит, проиграть все матчи российским командам они не могут (это пункт б).
Построим теперь пример, когда российские команды не проигрывают ни одного матча и, значит, делают 21 ничью. Упорядочим прочие команды по силе, и пусть слабая всегда проигрывает сильной. Тем самым команды наберут $0, 2, 4, \ldots, 22$ очка в матчах между собой.
Далее, выберем три «слабых» и три «сильных» российских команды. Пусть слабые сыграют вничью с семью слабыми из прочих, а у остальных прочих выиграют, а сильные выиграют все матчи с прочими командами. Теперь прочие команды имеют $3, 5, \ldots, 15, 14, 16, \ldots 22$ очка и сумма их очков как раз 153, слабые российские команды имеют по 17, а сильные российские по 24. Теперь упорядочим и российские по силе (при этом слабые сделаем тремя слабейшими) и пусть сильная всегда выигрывает у слабой. Тогда в итоге российские команды будут иметь результаты 17, 19, 21, 30, 32, 34. Как видно никаких повторов результата не произошло.
в)  Допустим так произошло. Остальные 9 команд из СНГ набрали только в играх между собой $\frac{9 \cdot 8}{2} \cdot 2 = 72$ очка, поэтому на долю трех победителей приходится не более $153 - 72 = 81$ очка. Значит, команда, занявшая третье место, набрала не более 26  очков, поскольку $27 + 28 + 29 = 84 больше 81$ Значит, российские команды набрали не более

$25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 135 меньше 153$

очков, противоречие.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  нет.
Правильный ответ: а)  да; б)  нет; в)  нет
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66777 • Задание №10
Точка О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD является основанием высоты SO пирамиды SABCD. Плоскость, п...
Смотреть разбор ↗
ID 64678 • Задание №2
Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижени...
Смотреть разбор ↗
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания | Баллы

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4

Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3

Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0

Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382 Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100. а)  Може... ID 71383 За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за проигрыш  — 0 очков. В ... ID 71384 За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью  — 0,5 очка, за проигрыш  — 0 очков. В ... ID 71385 Известно, что a, b, c, и d  — попарно различные положительные двузначные числа. а)  Может ли вы... ID 71386 Пусть q  — наименьшее общее кратное, а d  — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...
← Предыдущее задание 📚 Все задания по предмету Следующее задание →