На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее –32. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 8. Известно, что самое большое число на красной карте = утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте = количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Если количество синих карт = 1, то максимальное число на красных картах = 3, что не делится на 8, поэтому количество синих карт не = 1.
б) Если количество синих карт = 40, то максимальное число на красных картах = 120, поэтому из интервала $( - 32; 120 ]$ взято не более 19 чисел, кратных 8. Числа на синих картах делятся на 5, а максимальное число на синих картах = количеству красных карт, поэтому было взято 5, 10 или 15 чисел для красных карт, но даже в интервале $( - 32; 15 ]$ нет 40 чисел, кратных 5. Следовательно, 40 синих карт быть не может.
в) Пусть синих карт n, тогда максимальное число на красных картах = 3n, при этом оно делится на 8, то есть n делится на 8. Количество чисел, кратных 8, в интервале $( - 32; 3n ]$ = $\frac{3n}{8} + 4$ и это не меньше максимального числа на синих картах, которое кратно 5. Следовательно, в интервале $( - 32; $\frac{3n}{8}$ + 4 ]$ количество чисел, кратных 5, не больше $\frac{$\frac{3n}{8}$ + 4,}{5} + 7$ и не меньше n, то есть верно
$\frac{$\frac{3n}{8}$ + 4,}{5} + 7 больше или = n = сильно $\frac{3n}{8}$ + 4 больше или = 5n - 35 = сильно $\frac{3n}{8}$ больше или = 5n - 39 = сильно$
$ = сильно 3n больше или = 40n - 312 = сильно 37n меньше или = 312 = сильно n меньше или = целая часть: 8, дробная часть: числитель: 16, знаменатель: 37$ $\frac{$\frac{3n}{8}$ + 4,}{5} + 7 больше или = n = сильно $\frac{3n}{8}$ + 4 больше или = 5n - 35 = сильно$
$ = сильно $\frac{3n}{8}$ больше или = 5n - 39 = сильно 3n больше или = 40n - 312 = сильно$
$ = сильно 37n меньше или = 312 = сильно n меньше или = целая часть: 8, дробная часть: числитель: 16, знаменатель: 37$
Число n делится на 8, поэтому максимальное n = 8. Такой случай возможен, если, например, на синих картах написаны числа –30, –25, –20, –15, –10, –5, 0, 5, а на красных — числа –24, –16, –8, 8, 24.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 8.
б) Если количество синих карт = 40, то максимальное число на красных картах = 120, поэтому из интервала $( - 32; 120 ]$ взято не более 19 чисел, кратных 8. Числа на синих картах делятся на 5, а максимальное число на синих картах = количеству красных карт, поэтому было взято 5, 10 или 15 чисел для красных карт, но даже в интервале $( - 32; 15 ]$ нет 40 чисел, кратных 5. Следовательно, 40 синих карт быть не может.
в) Пусть синих карт n, тогда максимальное число на красных картах = 3n, при этом оно делится на 8, то есть n делится на 8. Количество чисел, кратных 8, в интервале $( - 32; 3n ]$ = $\frac{3n}{8} + 4$ и это не меньше максимального числа на синих картах, которое кратно 5. Следовательно, в интервале $( - 32; $\frac{3n}{8}$ + 4 ]$ количество чисел, кратных 5, не больше $\frac{$\frac{3n}{8}$ + 4,}{5} + 7$ и не меньше n, то есть верно
$\frac{$\frac{3n}{8}$ + 4,}{5} + 7 больше или = n = сильно $\frac{3n}{8}$ + 4 больше или = 5n - 35 = сильно $\frac{3n}{8}$ больше или = 5n - 39 = сильно$
$ = сильно 3n больше или = 40n - 312 = сильно 37n меньше или = 312 = сильно n меньше или = целая часть: 8, дробная часть: числитель: 16, знаменатель: 37$ $\frac{$\frac{3n}{8}$ + 4,}{5} + 7 больше или = n = сильно $\frac{3n}{8}$ + 4 больше или = 5n - 35 = сильно$
$ = сильно $\frac{3n}{8}$ больше или = 5n - 39 = сильно 3n больше или = 40n - 312 = сильно$
$ = сильно 37n меньше или = 312 = сильно n меньше или = целая часть: 8, дробная часть: числитель: 16, знаменатель: 37$
Число n делится на 8, поэтому максимальное n = 8. Такой случай возможен, если, например, на синих картах написаны числа –30, –25, –20, –15, –10, –5, 0, 5, а на красных — числа –24, –16, –8, 8, 24.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 8.
Правильный ответ:
а) нет; б) нет; в) 8
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67927 • Задание №14
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, все ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее через б...
ID 70204 • Задание №17
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в т...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...