Пусть $a_1=a$ $a_2 - a_1=d$
а)  Да, например для прогрессии 1, 3, 5, ...,19, ... получим $S_10=100=100 \cdot a_1$
б)  Нет. По формуле для суммы прогрессии мы бы тогда имели

$\frac{2a + 9d}{2} \cdot 10=50 ( 2a + d )$

что сводится к

$2a + 9d=20a + 10d = сильно 18a + d=0$

что невозможно, поскольку $a,d больше 0$
в)  Обозначим $x= \frac{a}{d}$ тогда

$\frac{S_5 ^2}{S_1S_10} = \frac{( $\frac{1}{2}$ ( 2a + 4d ) \cdot 5 ) ^2 ,}{a \cdot $\frac{1}{2}$ ( 2a + 9d ) \cdot 10} = $\frac{25 ( a + 2d ) ^2}{5a ( 2a + 9d )}$ = $\frac{5 ( a + 2d ) ^2}{a ( 2a + 9d )}$ = \frac{5 ( x + 2 ) ^2}{x ( 2x + 9 )}$

Найдем наименьшее значение этого выражения. Для этого возьмем производную:

$\frac{10 ( x + 2 ) x ( 2x + 9 ) - 5 ( x + 2 ) ^2 ( 4x + 9 )}{x ^2 ( 2x + 9 ) ^2} =$
$= $\frac{5 ( x + 2 )}{x ^2 ( 2x + 9 ) ^2}$ \cdot ( 4x ^2 + 18x - 4x ^2 - 8x - 9x - 18 ) = $\frac{5 ( x + 2 )}{x ^2 ( 2x + 9 ) ^2}$ \cdot ( x - 18 )$ $= $\frac{5 ( x + 2 )}{x ^2 ( 2x + 9 ) ^2}$ \cdot ( 4x ^2 + 18x - 4x ^2 - 8x - 9x - 18 ) =$
$= $\frac{5 ( x + 2 )}{x ^2 ( 2x + 9 ) ^2}$ \cdot ( x - 18 )$

Значит, производная отрицательна при $0 меньше x меньше 18$ и положительна при $x больше 18$ Значит, функция убывает на $( 0;18 )$ и возрастает на $( 18; бесконечность )$ поэтому наименьшее значение будет при $x=18$ и оно = $\frac{5 \cdot 20 ^2}{18 \cdot 45} = \frac{200}{81}$ Его можно получить, например, при $a=18$ и $d=1$

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{200}{81}$