Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50.
а) Может ли число N заканчиваться на 1?
б) Докажите, что N четно.
а) Может ли число N заканчиваться на 1?
б) Докажите, что N четно.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Докажем сразу пункт б).
Обозначим через s(A) сумму цифр числа A. Из рассмотрения сложения в столбик двух чисел A и B следует, что s(A + B) ≤ s(A) + s(B), причем равенство достигается в том и только в том случае, когда при сложении нет переносов через разряд.
Тем самым, из условия задачи вытекает, что при сложении 5N + 5N = 10N нет переносов через разряд, поскольку s(10N) = s(N) = 100. Но число 5N оканчивается на 5 или на 0 в случае соответственно нечетного и четного N. Первый случай отпадает, так как возникает перенос в последнем разряде.
Обозначим через s(A) сумму цифр числа A. Из рассмотрения сложения в столбик двух чисел A и B следует, что s(A + B) ≤ s(A) + s(B), причем равенство достигается в том и только в том случае, когда при сложении нет переносов через разряд.
Тем самым, из условия задачи вытекает, что при сложении 5N + 5N = 10N нет переносов через разряд, поскольку s(10N) = s(N) = 100. Но число 5N оканчивается на 5 или на 0 в случае соответственно нечетного и четного N. Первый случай отпадает, так как возникает перенос в последнем разряде.
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67824 • Задание №13
а) Решите уравнение $49 в степени левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 1 минус синус в ква...
ID 69707 • Задание №16
Завод закупает станки двух типов, на приобретение которых выделено 34 миллиона рублей. Станок первого типа зан...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...