Произведение трёх натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию, является делителем некоторого числа вида n2 + 1, где $n принадлежит N$
а) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 12.
б) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 10 или 11.
а) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 12.
б) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 10 или 11.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Приведем пример. Пусть даны три числа: 1, 13 и 25. Тогда их произведение = $325=18 ^2 + 1$ Значит, такая прогрессия существует.
б) Пусть разность прогрессии равна 10. Тогда заметим, что три последовательных её члена дают три различных остатка при делении на 3. Значит, какое-то одно из них кратно 3. Значит, $n ^2 + 1$ кратно 3. Значит, $n ^2$ дает остаток 2 при делении на 3. Но это невозможно, поскольку квадраты натуральных чисел дают при делении на 3 только остатки 0 и 1. Противоречие.
Рассуждение буквально повторяется, если разность прогрессии равна 11.
Ответ: а) да; б) нет.
б) Пусть разность прогрессии равна 10. Тогда заметим, что три последовательных её члена дают три различных остатка при делении на 3. Значит, какое-то одно из них кратно 3. Значит, $n ^2 + 1$ кратно 3. Значит, $n ^2$ дает остаток 2 при делении на 3. Но это невозможно, поскольку квадраты натуральных чисел дают при делении на 3 только остатки 0 и 1. Противоречие.
Рассуждение буквально повторяется, если разность прогрессии равна 11.
Ответ: а) да; б) нет.
Правильный ответ:
а) да; б) нет
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69087 • Задание №15
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: \l...
ID 68864 • Задание №15
Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 3 правая круглая скобка 3 плюс логариф...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...