Имеется набор отрезков, два самых коротких из них имеют длину 1, самый длинный имеет длину 45.
а) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 5 отрезков?
б) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 60 отрезков?
в) Какое наибольшее число отрезков может быть в наборе, чтобы ни из каких трёх нельзя было составить треугольник?
а) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 5 отрезков?
б) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 60 отрезков?
в) Какое наибольшее число отрезков может быть в наборе, чтобы ни из каких трёх нельзя было составить треугольник?
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Пусть отрезки имеют длины 1, 1, 4, 10 и 45. Тогда ясно, что ни для каких трех из них неравенство треугольника не выполняется.
б) Упорядочим отрезки по возрастанию: $1= a_1 = a_2 меньше или = a_3\leqslant... меньше или = a_60=45$ Пусть ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Тогда получаем неравенства: $a_3\geqslant2, a_4 больше или = a_3 + a_2\geqslant3, a_5 больше или = a_4 + a_3 больше или = 5, a_6 больше или = 8,a_7 больше или = 13, a_8 больше или = 21, a_9 больше или = 34, a_10 больше или = 55$ Значит, $a_60$ еще больше. Противоречие.
в) Из пункта б) ясно, что отрезков не может быть 10 или больше. Пусть отрезков 9 и их длины равны 1,1,2,3,5,8,13,21,45. Тогда ни из каких трёх отрезков составить треугольник нельзя, поскольку самый длинный из них будет больше или равен сумме двух других.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.
б) Упорядочим отрезки по возрастанию: $1= a_1 = a_2 меньше или = a_3\leqslant... меньше или = a_60=45$ Пусть ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Тогда получаем неравенства: $a_3\geqslant2, a_4 больше или = a_3 + a_2\geqslant3, a_5 больше или = a_4 + a_3 больше или = 5, a_6 больше или = 8,a_7 больше или = 13, a_8 больше или = 21, a_9 больше или = 34, a_10 больше или = 55$ Значит, $a_60$ еще больше. Противоречие.
в) Из пункта б) ясно, что отрезков не может быть 10 или больше. Пусть отрезков 9 и их длины равны 1,1,2,3,5,8,13,21,45. Тогда ни из каких трёх отрезков составить треугольник нельзя, поскольку самый длинный из них будет больше или равен сумме двух других.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.
Правильный ответ:
а) да; б) нет; в) 9
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64464 • Задание №1
[рис.] Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?...
ID 70947 • Задание №18
Найдите все значения a, при каждом из которых система
$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате = 8|x...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...