Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадает первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т. д. Например, числа 121 и 123321 являются палиндромами.
а) Приведите пример числа‐палиндрома, которое делится на 15
б) Сколько существует пятизначных чисел‐палиндромов, делящихся на 15?
в) Найдите 37‐е по величине число‐палиндром, которое делится 15.
а) Приведите пример числа‐палиндрома, которое делится на 15
б) Сколько существует пятизначных чисел‐палиндромов, делящихся на 15?
в) Найдите 37‐е по величине число‐палиндром, которое делится 15.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Чтобы число делилось на 15, оно должно делиться на 5 и на 3. Для делимости на 5 оно должно кончаться на 5 (или на 0, но для палиндромов это невозможно). Дляделимости на 3 его сумма цифр должна быть кратна $3$
а) Например, 525.
б) Пусть это число $\overline5aba5$ Тогда $2a + b + 1$ кратно 3. Изучим остатки цифр a и b от деления на 3.
Если $a=0;3;6;9$ то $b=2,5,8$ причем можно сочетать любые варианты.
Если $a=1;4;7$ то $b=0;3;6;9$ причем можно сочетать любые варианты.
Если $a=2;5;8$ то $b=1;4;7$ причем можно сочетать любые варианты.
Значит, всего этих чисел $4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3=33$
в) Трехзначные числа бывают только такие — $525,555,585$ Четырехзначные — только такие — $5115,5445,5775$ Значит, всего Среди не более чем пяизначных чисел есть $39$ палиндромов. Осталось отсчитать третий с конца. Очевидно это число вида $\overline59b95$ поэтому $59295$
Ответ: а) 525; б) 33; в) 59295.
а) Например, 525.
б) Пусть это число $\overline5aba5$ Тогда $2a + b + 1$ кратно 3. Изучим остатки цифр a и b от деления на 3.
Если $a=0;3;6;9$ то $b=2,5,8$ причем можно сочетать любые варианты.
Если $a=1;4;7$ то $b=0;3;6;9$ причем можно сочетать любые варианты.
Если $a=2;5;8$ то $b=1;4;7$ причем можно сочетать любые варианты.
Значит, всего этих чисел $4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 3=33$
в) Трехзначные числа бывают только такие — $525,555,585$ Четырехзначные — только такие — $5115,5445,5775$ Значит, всего Среди не более чем пяизначных чисел есть $39$ палиндромов. Осталось отсчитать третий с конца. Очевидно это число вида $\overline59b95$ поэтому $59295$
Ответ: а) 525; б) 33; в) 59295.
Правильный ответ:
а) 525; б) 33; в) 59295
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66633 • Задание №10
Точки $K, P, M$ — середины ребер $AD, DC$ и $A_1B_1$ соответственно куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ Найти угол между...
ID 68110 • Задание №14
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка L — середина бокового ребра SB. На ребре SA взята точка К т...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...