Достаточно часто роль противительного союза играет слово ЖЕ.
Несмотря на то что чаще всего мы встречаем его в роли частицы («Что же ты молчишь?»), но в нашем предложении это сочинительный противительный союз.

Вот как это доказать в 2 простых шага.
1.«Золотое правило»: Пробуем заменить на А или НО.
Это самый главный и надежный способ проверки. Если ЖЕ можно без потери смысла заменить на союзы А или НО, перед нами точно союз.
Наше предложение: ...сам вывернусь, Пушкин ЖЕ никак не сумеет этого уладить...

Пробуем замену:
...сам вывернусь, А Пушкин никак не сумеет этого уладить...  — Смысл сохранился полностью!
...сам вывернусь, НО Пушкин никак не сумеет этого уладить...  — И так тоже отлично! Смысл противопоставления остался.
Вывод: Раз замена на союзы А/НО работает, значит, ЖЕ выполняет их функцию и является союзом.

2. Шаг 2. Анализируем структуру предложения: Что связывает ЖЕ?
Союзы, в отличие от частиц, что-то связывают. Чаще всего  — части сложного предложения. Давайте найдем грамматические основы.

[Бывало, вместе с ним поспорим (1)], [оба промахнёмся (2)], [сам вывернусь (3)], [Пушкин ЖЕ никак не сумеет уладить (4)]...
Первая часть (до ЖЕ): Рассказчик говорит о себе. Он умеет находить выход из спора («сам вывернусь»). Грамматические основы здесь: поспорим, промахнёмся, вывернусь (односоставные определенно-личные, подразумевается «мы» или «я»).
Вторая часть (после ЖЕ): Речь идет уже о Пушкине. Он, в отличие от рассказчика, не может найти выход («Пушкин не сумеет уладить»). Грамматическая основа: Пушкин не сумеет уладить.
Слово ЖЕ стоит между этими двумя частями и связывает их, показывая, что действия рассказчика противопоставляются действиям Пушкина. Это и есть работа противительного союза в сложносочинённом предложении (ССП).

Ответ: же.