Приведем верное написание.

Мальчик был непоколебим и (1), по-видимому, (2) с исключительным упорством добивался своего. Вот и в этот раз родители (3) наконец (4) уступили и сделали так, как хотел их сын.

«Наконец» в качестве наречия в роли обстоятельственного члена предложения имеет значение «под конец», «напоследок» (спустя некоторое время, в результате потраченных усилий). Слово «наконец» является вводным, если подытоживает какое-либо перечисление  — явное (во-первых, во-вторых и наконец) или скрытое (как итог некоторых событий)

Запятые должны стоять на местах 1, 2.