К верхнему концу тонкого вертикального вала, установленного на неподвижном столе, на невесомой нерастяжимой нити длиной l = 20 см подвешен маленький грузик массой m = 10 г. Вал с грузиком на нити можно вращать вокруг вертикальной оси при помощи электропривода. Вал медленно раскрутили до угловой скорости ω = 10 с−1. Какую кинетическую энергию приобрел грузик к концу раскрутки системы?
Какие законы Вы использовали для описания движения грузика? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
Какие законы Вы использовали для описания движения грузика? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] Обоснование
1. Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей, которую можно считать инерциальной (ИСО).
2. Размерами грузика по сравнению с длиной нити можно пренебречь, поэтому его можно описывать моделью материальной точки.
3. В данных условиях можно применить второй закон Ньютона.
Перейдем к решению.
1. Рассмотрим описанную в условии систему после ее раскрутки до стабильного вращения с угловой скоростью ω = 10 с−1 и изобразим силы натяжения нити T и тяжести mg, действующие на грузик после отклонения нити от вертикального положения на угол α (см. рисунок).
2. Запишем уравнения движения (второй закон Ньютона) системы в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси, используя выражение для центростремительного ускорения грузика: $T \cos альфа =m g$ $T \sin альфа =m \omega ^2 R$ Здесь $R=l \sin альфа$ — радиус окружности, по которой вращается грузик.
3. Исключая T из этой системы, получаем уравнение для нахождения угла α:
$\frac{\sin альфа}{\cos альфа} = \frac{\omega ^2 l \sin альфа}{g}$
которое имеет два решения: $\sin альфа =0$ (то есть α = 0) или $\cos альфа = \frac{g}{\omega ^2 l}$
4. Проанализируем этот результат. Очевидно, что решение α = 0 есть всегда, но оно устойчиво только при малых ω пока $\frac{g}{\omega ^2 l} больше 1$ Когда $\frac{g}{\omega ^2 l}$ становится с ростом ω меньше единицы, решение α = 0 теряет устойчивость, и возникает стабильное отклонение нити от вертикали, при котором $\cos альфа = \frac{g}{\omega ^2 l}$
5. В нашем случае $\cos альфа = $\frac{g}{\omega ^2 l}$ = $\frac{10}{10 ^2 \cdot 0,2}$ = 0,5$ и α = 60°.
6. Линейная скорость движения грузика по окружности радиусом $R=l \sin альфа$ равна $V=\omega R$ так что кинетическая энергия грузика равна:
$E_к= $\frac{m V ^2}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l \sin ^2 альфа}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l ^2 ( 1 - \cos ^2 альфа )}{2}$ = $\frac{0,01 \cdot 10 ^2 \cdot 0,2 ^2 \cdot ( 1 - 0,5 ^2 )}{2}$ =0,015 Дж$ $E_к= $\frac{m V ^2}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l \sin ^2 альфа}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l ^2 ( 1 - \cos ^2 альфа )}{2}$ =$
$= $\frac{0,01 \cdot 10 ^2 \cdot 0,2 ^2 \cdot ( 1 - 0,5 ^2 )}{2}$ =0,015 Дж$ $E_к= $\frac{m V ^2}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l \sin ^2 альфа}{2}$ =$
$= $\frac{m \omega ^2 l ^2 ( 1 - \cos ^2 альфа )}{2}$ =$
$= $\frac{0,01 \cdot 10 ^2 \cdot 0,2 ^2 \cdot ( 1 - 0,5 ^2 )}{2}$ =0,015 Дж$
Ответ: $E_K=0,015 \text Дж$
1. Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей, которую можно считать инерциальной (ИСО).
2. Размерами грузика по сравнению с длиной нити можно пренебречь, поэтому его можно описывать моделью материальной точки.
3. В данных условиях можно применить второй закон Ньютона.
Перейдем к решению.
1. Рассмотрим описанную в условии систему после ее раскрутки до стабильного вращения с угловой скоростью ω = 10 с−1 и изобразим силы натяжения нити T и тяжести mg, действующие на грузик после отклонения нити от вертикального положения на угол α (см. рисунок).
2. Запишем уравнения движения (второй закон Ньютона) системы в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси, используя выражение для центростремительного ускорения грузика: $T \cos альфа =m g$ $T \sin альфа =m \omega ^2 R$ Здесь $R=l \sin альфа$ — радиус окружности, по которой вращается грузик.
3. Исключая T из этой системы, получаем уравнение для нахождения угла α:
$\frac{\sin альфа}{\cos альфа} = \frac{\omega ^2 l \sin альфа}{g}$
которое имеет два решения: $\sin альфа =0$ (то есть α = 0) или $\cos альфа = \frac{g}{\omega ^2 l}$
4. Проанализируем этот результат. Очевидно, что решение α = 0 есть всегда, но оно устойчиво только при малых ω пока $\frac{g}{\omega ^2 l} больше 1$ Когда $\frac{g}{\omega ^2 l}$ становится с ростом ω меньше единицы, решение α = 0 теряет устойчивость, и возникает стабильное отклонение нити от вертикали, при котором $\cos альфа = \frac{g}{\omega ^2 l}$
5. В нашем случае $\cos альфа = $\frac{g}{\omega ^2 l}$ = $\frac{10}{10 ^2 \cdot 0,2}$ = 0,5$ и α = 60°.
6. Линейная скорость движения грузика по окружности радиусом $R=l \sin альфа$ равна $V=\omega R$ так что кинетическая энергия грузика равна:
$E_к= $\frac{m V ^2}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l \sin ^2 альфа}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l ^2 ( 1 - \cos ^2 альфа )}{2}$ = $\frac{0,01 \cdot 10 ^2 \cdot 0,2 ^2 \cdot ( 1 - 0,5 ^2 )}{2}$ =0,015 Дж$ $E_к= $\frac{m V ^2}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l \sin ^2 альфа}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l ^2 ( 1 - \cos ^2 альфа )}{2}$ =$
$= $\frac{0,01 \cdot 10 ^2 \cdot 0,2 ^2 \cdot ( 1 - 0,5 ^2 )}{2}$ =0,015 Дж$ $E_к= $\frac{m V ^2}{2}$ = $\frac{m \omega ^2 l \sin ^2 альфа}{2}$ =$
$= $\frac{m \omega ^2 l ^2 ( 1 - \cos ^2 альфа )}{2}$ =$
$= $\frac{0,01 \cdot 10 ^2 \cdot 0,2 ^2 \cdot ( 1 - 0,5 ^2 )}{2}$ =0,015 Дж$
Ответ: $E_K=0,015 \text Дж$
Правильный ответ:
$E_K=0,015 \text Дж$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 103507 • Задание №5
На графиках представлены зависимости концентрации n и температуры T идеального газа от времени. Из этих зависи...
ID 167815 • Задание №17
Используя штатив с муфтой и лапкой, пружину, динамометр, линейку и один груз, соберите экспериментальную устан...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Критерий 1
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей). В данном случае: условия равновесия твердого тела в ИСО, сила упругости, закон Гука, сила сухого трения покоя и скольжения, а также третий закон Ньютона. | 1
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка.
ИЛИ
Обоснование отсутствует. | 0
Критерий 2
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов);
III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.).
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Критерий 1
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей). В данном случае: условия равновесия твердого тела в ИСО, сила упругости, закон Гука, сила сухого трения покоя и скольжения, а также третий закон Ньютона. | 1
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка.
ИЛИ
Обоснование отсутствует. | 0
Критерий 2
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:
I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов);
II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов);
III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3
Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют.
И (ИЛИ)
В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.).
И (ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги.
И (ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 2
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №26 по предмету Физика:
ID 108782
Два одинаковых груза массой $M=100 г$ каждый подвешены на концах невесомой и нерастяжимой нити,...
ID 108783
На последнем автосалоне в Детройте фирма «Мерседес» представила новый родстер с двигателем объе...
ID 108784
[рис.] Из двух ровных досок сделан желоб, представляющий собой двугранный угол с раствором $2 а...
ID 108785
[рис.] К одному концу легкой пружины жесткостью k = 100 Н/м прикреплен массивный груз, лежащ...
ID 108786
[рис.] В установке, изображенной на рисунке, грузик А соединен перекинутой через блок нитью с б...