1.  Составим уравнение реакции:

$\ChemFormK_2CO_3 + Ba ( NO_3 ) _2 = BaCO_3\downarrow + 2KNO_3$

2.  Рассчитаем количество вещества карбоната бария и масса нитрата бария:

$n ( BaCO_3$ ) = m ( BaCO_3$ ) / M ( BaCO_3$ ) = 3,94 : 197 = 0,02 моль$
$n ( Ba ( NO_3 ) _2$ ) = n ( BaCO_3$ ) = 0,02 моль$
$m ( Ba ( NO_3 ) _2$ ) = n ( Ba ( NO_3 ) _2$ ) \cdot $M ( Ba ( NO_3 ) _2 ) = 0,02 \cdot 261 = 5,22$ г$

3.  Определим массу раствора нитрата бария:

$m ( раствора ) = m ( Ba ( NO_3 ) _2$ ) / \omega ( $Ba ( NO_3 ) _2 ) = 5,22/0,1 = 52,2$ г$

Ответ: 52,2  г.