Треугольник ABC  — = бедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании, а высота, проведенная из точки C, делит основание AB пополам. Тогда

$AH = AB \sin \angle ABH = AB \sin \angle BAC = 2AK \sin \angle BAC =$
$= 2AC \cos \angle BAC \sin \angle BAC = 2AC \cos \angle BAC $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 \angle BAC}$ аргумента =$
$= 2 \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot $\frac{1}{4}$ \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{16}$} аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{15}{16}$} аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4} = $\frac{15}{2}$ = 7,5$ $AH = AB \sin \angle ABH = AB \sin \angle BAC =$
$= 2AK \sin \angle BAC = 2AC \cos \angle BAC \sin \angle BAC =$
$= 2AC \cos \angle BAC $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 \angle BAC}$ аргумента = 2 \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot $\frac{1}{4}$ \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{16}$} аргумента =$
$= 2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{15}{16}$} аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4} = $\frac{15}{2}$ = 7,5$ $AH = AB \sin \angle ABH = AB \sin \angle BAC =$
$= 2AK \sin \angle BAC = 2AC \cos \angle BAC \sin \angle BAC =$
$= 2AC \cos \angle BAC $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 \angle BAC}$ аргумента =$
$= 2 \cdot 4 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot $\frac{1}{4}$ \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{16}$} аргумента = 2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{15}{16}$} аргумента =$
$= 2 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4} = $\frac{15}{2}$ = 7,5$

Ответ: 7,5.