[рис.] Треугольник ABC  — = бедренный, значит, углы BAC и ABH равны как углы при его основании, а высота, проведенная из точки C, делит основание ;AB пополам. Имеем:

$BH = AB \cos \angle ABH = AB \cos \angle BAC = 2AK \cos \angle BAC =$
$= 2AC \cos ^2 \angle BAC = 2AC ( 1 - \sin ^2 \angle BAC ) = 2 \cdot 27 \cdot ( 1 - $\frac{4}{9}$ ) = 30$ $BH = AB \cos \angle ABH = AB \cos \angle BAC =$
$= 2AK \cos \angle BAC = 2AC \cos ^2 \angle BAC =$
$= 2AC ( 1 - \sin ^2 \angle BAC ) = 2 \cdot 27 \cdot ( 1 - $\frac{4}{9}$ ) = 30$

Ответ: 30.

Примечание.
[рис.]
Внимательный читатель заметит, что расстояние BH получилось больше, чем длина BС. Связано это с тем, что на самом деле описанный в условии треугольник является тупоугольным. Однако это не влияет на корректность решения задачи.