[рис.] Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна их произведению. Пусть длины сторон равны a и b. Следовательно, периметр и площадь прямоугольника соответственно равны $P = 2 ( a + b ) = 34$ и $S = ab = 60$ Решим систему:
$$$\begin{cases} a + b = 17 \\[6pt] ab = 60 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] 17b - b ^2 = 60 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] b ^2 - 17b + 60 = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] ( b - 5 ) ( b - 12 ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} b = 5 \\[6pt] b = 12 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a = 12 \\[6pt] b = 5 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a = 5 \\[6pt] b = 12. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} a + b = 17 \\[6pt] ab = 60 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] 17b - b ^2 = 60 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] b ^2 - 17b + 60 = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] ( b - 5 ) ( b - 12 ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} b = 5 \\[6pt] b = 12 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a = 12 \\[6pt] b = 5 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a = 5 \\[6pt] b = 12. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$
Таким образом, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12.
Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна c, тогда по теореме Пифагора находим:
$c = $\sqrt{аргумента: 5 ^2 + 12 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 144}$ аргумента = 13$
Ответ: 13.
Примечание 1.
Можно заметить, что система уравнений $a + b = 17$ $ab = 60$ является системой Виета. Следовательно, ее решения — корни квадратного уравнения $t ^2 - 17t + 60 = 0$ откуда $t = 5$ и $t = 12$
Примечание 2.
Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно,
$c ^2 = a ^2 + b ^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab = 17 ^2 - 2 \cdot 60 = 169 = 289 - 120 = 169$
откуда $c = 13$
$$$\begin{cases} a + b = 17 \\[6pt] ab = 60 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] 17b - b ^2 = 60 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] b ^2 - 17b + 60 = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] ( b - 5 ) ( b - 12 ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} b = 5 \\[6pt] b = 12 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a = 12 \\[6pt] b = 5 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a = 5 \\[6pt] b = 12. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$ $$$\begin{cases} a + b = 17 \\[6pt] ab = 60 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] 17b - b ^2 = 60 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] b ^2 - 17b + 60 = 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] ( b - 5 ) ( b - 12 ) = 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} a = 17 - b \\[6pt] \left[ \begin{array}{l} b = 5 \\[6pt] b = 12 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} a = 12 \\[6pt] b = 5 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} a = 5 \\[6pt] b = 12. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$
Таким образом, стороны прямоугольника треугольника равны 5 и 12.
Диагональ разбивает прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в которых она является гипотенузой. Пусть длина диагонали равна c, тогда по теореме Пифагора находим:
$c = $\sqrt{аргумента: 5 ^2 + 12 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 25 + 144}$ аргумента = 13$
Ответ: 13.
Примечание 1.
Можно заметить, что система уравнений $a + b = 17$ $ab = 60$ является системой Виета. Следовательно, ее решения — корни квадратного уравнения $t ^2 - 17t + 60 = 0$ откуда $t = 5$ и $t = 12$
Примечание 2.
Можно было и вовсе не решать систему уравнений: действительно,
$c ^2 = a ^2 + b ^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab = 17 ^2 - 2 \cdot 60 = 169 = 289 - 120 = 169$
откуда $c = 13$
Правильный ответ:
13
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68585 • Задание №15
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6x в квадрате минус 5x конец дроби больше или равно дроб...
ID 70789 • Задание №18
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
$a | x плюс 1| плюс левая круглая скобка 1 минус a пр...
🔗 Другие задания линии №1 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 64210
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4,8, $синус A = дробь: числитель: 7, знамена...
ID 64211
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 2, $синус A = дробь: числитель: корень из: н...
ID 64212
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 4, $косинус A = 0,5$ Найдите АВ....
ID 64213
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, $тангенс A = дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 к...
ID 64214
[рис.] В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 8, $тангенс A = 0,5$ Найдите BC....