Чтобы найти площадь треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:

$S= $\sqrt{аргумента: p ( p - AC ) ( p - AB ) ( p - BC )}$ аргумента$

Далее по формуле $R= \frac{abc}{4S}$ находим:

$R= \frac{40 \cdot 40 \cdot 48}{4 \cdot $\sqrt{аргумента: 64 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 16}$ аргумента} = $\frac{10 \cdot 40 \cdot 48}{24 \cdot 8 \cdot 4}$ =25$

Ответ: 25.
[рис.]
Приведем еще одно решение.
Проведем высоту CH прямоугольного треугольника ACH и найдем ее:

$CH= \sqrt{аргумента: AC ^2 - ( $\frac{AB}{2}$ ) ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 40 ^2 - 24 ^2}$ аргумента =32$

Следовательно, $\sin A = $\frac{CH}{AC}$ = $\frac{32}{40}$ = \frac{4}{5}$
Применим теорему \sin ов к треугольнику ABC, получим $\frac{BC}{\sin A} =2R$ откуда $R= \frac{40}{2 \cdot $\frac{4,}{5}$} =25$

Приведем решение Павла Юкляева.
[рис.]
Треугольник ABC является остроугольным, поскольку 482 2 + 402. В = бедренном остроугольном треугольнике центр описанной окружности О лежит на высоте, проведенной к основанию.
Проведем высоту CH, найдем ее из прямоугольного треугольника ACH:

$CH= \sqrt{аргумента: AC ^2 - ( $\frac{AB}{2}$ ) ^2} аргумента = $\sqrt{аргумента: 40 ^2 - 24 ^2}$ аргумента =32$

Из прямоугольного треугольника AOH получим: $R ^2 =AH ^2 + OH ^2$ $R ^2 =24 ^2 + ( 32 - R ) ^2$ а тогда

$R = $\frac{32 ^2 + 24 ^2}{64}$ =25$

[рис.]
Приведем решение Артема Абросимова.
Запишем теорему \cos ов:

$AC ^2 =AB ^2 + BC ^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

Далее подставим числа:

$48 ^2 =40 ^2 + 40 ^2 - 2 \cdot 40 ^2 \cdot \cos \angle ABC = сильно 48 ^2 - 2 \cdot 40 ^2 = - 2 \cdot 40 ^2 \cdot \cos \angle ABC = сильно$ $48 ^2 =40 ^2 + 40 ^2 - 2 \cdot 40 ^2 \cdot \cos \angle ABC = сильно$
$ = сильно 48 ^2 - 2 \cdot 40 ^2 = - 2 \cdot 40 ^2 \cdot \cos \angle ABC = сильно$
$ = сильно \cos \angle ABC= $\frac{896}{2 \cdot 1600}$ = сильно \cos \angle ABC= \frac{7}{} 25$

Зная, $\cos \angle ABC$ найдем

$\cos \angle AOC= \cos 2\angle ABC=2 \cos ^2 \angle ABC - 1= - \frac{527}{625}$

Отрезки AO и OC равны искомому радиусу описанной окружности R, поэтому по теореме \cos ов для треугольника AOC получаем:

$AC ^2 =AO ^2 + OC ^2 - 2 \cdot AO \cdot OC \cdot \cos \angle AOC$

откуда, подставляя числа, заключаем:

$48 ^2 =2 \cdot AO ^2 + 2 \cdot AO ^2 \cdot - $\frac{527}{625}$ = сильно 48 ^2 = $\frac{2304}{625}$ \cdot AO ^2 = сильно AO ^2 =625$

Таким образом, $AO=25$ следовательно, $R=25$

Ответ: 25.

Еще одно решение приведено в задаче 53843.