[рис.] а)  Поместим призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.

Пусть ребра призмы равны t. Тогда имеем:

$A ( \frac{t $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} ; - $\frac{t}{2}$ ;0 )$ $F ( \frac{t $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} ; $\frac{t}{2}$ ;0 )$ $C_1 ( - \frac{t $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} ; - $\frac{t}{2}$ ;t )$

Найдем уравнение секущей плоскости, которая имеет вид: ax + by + cz + d  =  0. Пусть $d= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Так как точки A, F, C1 лежат в этой плоскости, то:

$$$\begin{cases} новая строка \frac{t $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} a - $\frac{t}{2}$ b + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0 \\[6pt] новая строка \frac{t $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} a + $\frac{t}{2}$ b + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0 \\[6pt] новая строка - \frac{t $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} a - $\frac{t}{2}$ b + tc + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0 . \end{cases}$$$

Вычитая из второго уравнения первое, получим: tb  =  0; b  =  0. Тогда:

$\frac{t $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} a= - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = сильно a= - \frac{2}{t}$
$ - \frac{t $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot ( - $\frac{2}{t}$ ) + tc= - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
$\sqrt{аргумента: 3} аргумента + tc= - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ;c= - \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t}$

Итак, искомое уравнение имеет вид: $ - $\frac{2}{t}$ x - \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t} z + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0$ или $\frac{2}{t} x + \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t} z - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0$ Это  — уравнение секущей плоскости. Ее нормальный вектор: $\overlinen_1= ( \overline $\frac{2}{t}$ ;0; \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t} )$

Итак, искомое уравнение имеет вид: $ - $\frac{2}{t}$ x - \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t} z + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0$ или $\frac{2}{t} x + \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t} z - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0$ Это  — уравнение секущей плоскости. Ее нормальный вектор: $\overlinen_1= ( \overline $\frac{2}{t}$ ;0; \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t} )$
Найдем координаты пересечения секущей плоскости и прямых BB1 и EE1. Искомая точка $K ( 0; - t;z_k )$ Поскольку эта точка лежит на секущей плоскости, то $\frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t} z_k - $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =0$ $z_k= \frac{t}{2}$

Таким образом, секущая плоскость пересекает ребро BB1 в точке $K ( 0; - t; $\frac{t}{2}$ )$ то есть в середине ребра BB1. Аналогично найдем точку L  — пересечение секущей плоскости и ребра EE1. Также L окажется серединой ребра EE1. Ясно, что сечение будет проходить через вершину D1. Искомым сечением будет шестиугольник AKC1D1LF.
б)  Уравнение плоскости нижнего основания призмы: z  =  0, ее нормальный вектор $\overlinen_2= ( \overline0;0;1 )$
Если угол между секущей плоскостью и нижним основанием призмы обозначить α, то

$\cos альфа = \frac{\left| $\frac{2}{t}$ \cdot 0 + 0 \cdot 0 + \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t} \cdot 1 |,}{\sqrt{аргумента: $\frac{4}{t}$ аргумента ^2} + 0 + $\frac{12}{t ^2}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 0}$ аргумента ^2 + 0 ^2 + 1 ^2} = \frac{\frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{t} ,}{$\frac{4}{t}$} = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$

$S_осн.=6 \cdot \frac{a ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = \frac{3a ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$

$S_сеч.= $\frac{S_осн.}{\cos альфа}$ = \frac{3a ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} : \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} =3a ^2 =3 \cdot 133=399$

Ответ: б) 399.