[рис.] Пусть O  — центр третьей окружности, A  — точка касания первой и третьей окружностей, B  — второй и третьей, C  — третьей окружности и прямой O1O2. Точки O1, A и O лежат на одной прямой. Точки O2, B и O также лежат на одной прямой.
Пусть радиус третьей окружности равен x, тогда $OO_1=1 + x,OO_2=3 + x$
В прямоугольном треугольнике OCO1 имеем $O_1C= $\sqrt{аргумента: OO_1 ^2 - OC ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 1 + 2x}$ аргумента$
В прямоугольном треугольнике OCO2 имеем $O_2C= $\sqrt{аргумента: OO_2 ^2 - OC ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 + 6x.}$ аргумента$

Возможны два случая. первый случай: точка С лежит между точками O1 и O2 (рисунок 1), тогда

$O_1O_2=O_1C + O_2C$
$\sqrt{аргумента: 1 + 2x} аргумента + $\sqrt{аргумента: 9 + 6x}$ аргумента =14$
$\sqrt{аргумента: ( 1 + 2x ) ( 9 + 6x )} аргумента =93 - 4x$

откуда x  =  12.
Второй случай: точка O1 лежит между точками C и O2 (рисунок 2), тогда

$O_1O_2=O_2C - O_1C$
$\sqrt{аргумента: 9 + 6x} аргумента - $\sqrt{аргумента: 1 + 2x}$ аргумента =14$
$\sqrt{аргумента: ( 1 + 2x ) ( 9 + 6x )} аргумента =4x - 93$

откуда x  =  180.

Ответ: 12 или 180.