Выполним преобразования:

$4 в степени ( \log_{2} ^2 ( 4x ) ) = ( 4 в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) = ( 4x ) в степени ( 2 \log_{2} ( 4x ) ) = ( ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) ) ^2$

Тогда

$5 \cdot 4 в степени ( \log_{2} ^2 ( 4x ) ) - 9 \cdot ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) - 2\leqslant0 = сильно$
$ = сильно 5 ( ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) ) ^2 - 9 \cdot ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) - 2\leqslant0 = сильно - $\frac{1}{5}$ меньше или = ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) меньше или = 2 = сильно$ $5 \cdot 4 в степени ( \log_{2} ^2 ( 4x ) ) - 9 \cdot ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) - 2\leqslant0 = сильно$
$ = сильно 5 ( ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) ) ^2 - 9 \cdot ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) - 2\leqslant0 = сильно$
$ = сильно - $\frac{1}{5}$ меньше или = ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) меньше или = 2 = сильно$
$ = сильно ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) меньше или = 2 = сильно \log_{2} ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) меньше или = \log_{2} 2 = сильно \log_{2} ^2 ( 4x ) меньше или = 1 = сильно$
$ = сильно - 1 меньше или = \log_{2} ( 4x ) меньше или = 1 = сильно $\frac{1}{2}$ меньше или = 4x меньше или = 2 = сильно $\frac{1}{8}$ меньше или = x меньше или = \frac{1}{2}$ $ = сильно ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) меньше или = 2 = сильно \log_{2} ( 4x ) в степени ( \log_{2} ( 4x ) ) меньше или = \log_{2} 2 = сильно$
$ = сильно \log_{2} ^2 ( 4x ) меньше или = 1 = сильно - 1 меньше или = \log_{2} ( 4x ) меньше или = 1 = сильно$
$ = сильно $\frac{1}{2}$ меньше или = 4x меньше или = 2 = сильно $\frac{1}{8}$ меньше или = x меньше или = \frac{1}{2}$

Ответ: $[ $\frac{1}{8}$ ; $\frac{1}{2}$ ]$