[рис.] а)  Пусть $MA=9x$ $MP=16x$ тогда $AP=7x$ $x= \frac{5}{7}$ Очевидно, что $\Delta MAC=\Delta MAB$ поэтому $MC=MB$ Значит, перпендикуляры к BC, проведенные из P и M падают в середину BC  — точку T.
Рассмотрим треугольник $MPT$ В нем $MP= \frac{80}{7}$ $PT= $\sqrt{аргумента: PC ^2 - CT ^2}$ аргумента =4$ Далее, $AT=3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ и по теореме \cos ов в треугольнике $PAT$ имеем:

$16=25 + 27 - 2 \cdot 5 \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cos \angle PAT = сильно \cos \angle PAT= \frac{6}{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$

Значит, $\cos \angle MAT= - \frac{6}{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ и

$MT ^2 = $\frac{45 ^2}{7 ^2}$ + 27 + 2 \cdot $\frac{45}{7}$ \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{6}{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = $\frac{2025 + 1323 + 2268}{49}$ = \frac{5616}{49}$

Поскольку $4 ^2 + $\frac{5616}{49}$ = $\frac{6400}{49}$ =MP ^2$ треугольник прямоугольный, откуда и следует перпендикулярность плоскостей.
б)  Найдём объём пирамиды МАВС:

$V_MABC= $\frac{1}{3}$ d ( M, ABC ) \cdot S_ABC= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{9}{7}$ d ( P, ABC ) \cdot \frac{36 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} =$
$= \frac{27 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7} \sqrt{аргумента: PA ^2 - $\frac{4}{9}$ AT ^2} аргумента = \frac{27 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7} $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента = \frac{27 $\sqrt{аргумента: 39}$ аргумента}{7}$ $V_MABC= $\frac{1}{3}$ d ( M, ABC ) \cdot S_ABC=$
$= $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{9}{7}$ d ( P, ABC ) \cdot \frac{36 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = \frac{27 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7} \sqrt{аргумента: PA ^2 - $\frac{4}{9}$ AT ^2} аргумента =$
$= \frac{27 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{7} $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента = \frac{27 $\sqrt{аргумента: 39}$ аргумента}{7}$

Ответ: б) $\frac{27 $\sqrt{аргумента: 39}$ аргумента}{7}$