[рис.] а)  Пусть $M$ и N  — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно. Тогда:

$PM= $\sqrt{аргумента: PB ^2 - BM ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: PO ^2 + OB ^2 - BM ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: PO ^2 + OM ^2}$ аргумента =$

$= $\sqrt{аргумента: 10 ^2 + 11,25 ^2}$ аргумента =1,25 $\sqrt{аргумента: 8 ^2 + 9 ^2}$ аргумента =1,25 $\sqrt{аргумента: 145}$ аргумента$

Рассмотрим треугольник PMN. В нем $MN=20, MP=PN=1,25 $\sqrt{аргумента: 145}$ аргумента$ Плоскость пересекает его по прямой $MH$ где $H принадлежит PN$ по условию $\text{tg} \angle HMN= \frac{3}{4}$ Поскольку прямые $HM$ и MN перпендикулярны прямой AB, которая является линией пересечения плоскости основания и плоскости β, это линейный угол данного двугранного угла. В то же время:

[рис.]
$\text{tg} \angle PMN= \text{tg} \angle PMO= $\frac{PO}{OM}$ = \frac{9}{8}$

Поэтому

$\text{tg} \angle PMH= \text{tg} ( \angle PMN - \angle HMN ) = \frac{$\frac{9}{8}$ - $\frac{3}{4}$ ,}{1 + $\frac{9}{8}$ \cdot $\frac{3}{4}$} = \frac{12}{59}$

Тогда:

$\sin \angle PMH= \frac{12}{$\sqrt{аргумента: 12 ^2 + 59 ^2}$ аргумента} = \frac{12}{5 $\sqrt{аргумента: 145}$ аргумента}$ $\sin \angle HMN= \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 3 ^2 + 4 ^2}$ аргумента} = \frac{3}{5}$

$\frac{PH}{HN} = $\frac{S_PMH}{S_HMN}$ = $\frac{PM \cdot MH \cdot \sin \angle PMH}{NM \cdot MH \cdot \sin \angle NMH}$ = $\frac{PM \cdot \sin \angle PMH}{NM \cdot \sin \angle NMH}$ = $\frac{3}{12}$ = \frac{1}{4}$

Поскольку плоскость β проходит через $AB$ она параллельна $CD$ Проведем тогда через H прямую, параллельную $CD$ Она лежит в плоскости и делит отрезок $PC$ в том же отношении, что и отрезок $PH$ по теореме Фалеса.
б)  Ясно, что сечение  — трапеция, причем = бедренная (картинка симметрична относительно плоскости PMN). Далее, $MH$   — отрезок, соединяющий середины оснований, значит, это высота трапеции. Теперь найдём площадь сечения пирамиды плоскостью α:

$S= \frac{AB + $\frac{1}{5}$ CD,}{2} \cdot MH=12 \cdot $\frac{HN \sin \angle PNM}{\sin \angle HMN}$ = \frac{12 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot PN \cdot $\frac{PO}{PN}$ ,}{$\frac{3}{5}$} = 16 PO=180$ $S= \frac{AB + $\frac{1}{5}$ CD,}{2} \cdot MH=12 \cdot $\frac{HN \sin \angle PNM}{\sin \angle HMN}$ =$
$= \frac{12 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot PN \cdot $\frac{PO}{PN}$ ,}{$\frac{3}{5}$} = 16 PO=180$

Ответ: б) 180.