[рис.] Введём обозначения углов, как показано на рисунке. Пусть R  — длина половины диагонали, a  — сторона основания пирамиды, l  — боковое ребро пирамиды, h  — высота пирамиды. В силу связи основных углов в правильной пирамиде:

$\text{tg} альфа = \frac{\text{tg} бета}{$\sqrt{2}$} = \sqrt{7}$
поэтому

$a = $\sqrt{2}$ R= $\sqrt{2}$ \cdot l \cos альфа$

Вычислим $\cos альфа :$

$\cos альфа = \sqrt{аргумента: \frac{1}{\text{tg} ^2 альфа + 1}} аргумента = \frac{1}{$\sqrt{8}$}$

Получаем, что

$a = $\sqrt{2}$ \cdot l \cos альфа = $\sqrt{2}$ \cdot 22 \cdot \frac{1}{$\sqrt{8}$} = 11$

Ответ: 11.

Примечание.
Докажем формулу связи основных углов в правильной пирамиде.
Диагональ основания пирамиды равна $a $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ Имеем:

$\text{tg} альфа = \frac{h}{0,5a $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$
$\text{tg} бета = \frac{h}{0,5a}$

откуда $\text{tg} альфа = \frac{\text{tg} бета}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$