[рис.] а)  Рассмотрим сечение этой пирамиды плоскость, содержащей точки касания с противоположными двумя боковыми гранями и высоту пирамиды (она разбивает пирамиду на два равных тела). В сечении будет = бедренная трапеция, в которую вписана окружность. Если верхнее основание = $2a$ то нижнее $4a$ тогда боковая сторона $\frac{2a + 4a}{2} =3a$ из-за вписанности и высота трапеции $2R= $\sqrt{аргумента: ( 3a ) ^2 - a ^2}$ аргумента =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента a$ поэтому $a= \frac{R}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$
Боковая грань  — трапеция с основаниями $2a$ и $4a$ и высотой $3a$ (боковое ребро предыдущего сечения), поэтому ее площадь:

$\frac{2a + 4a}{2} \cdot 3a=9a ^2 = \frac{9R ^2}{2}$

[рис.]
б)  Пусть сечение содержит AC и пересекает ребро $B_1C_1$ в точке $M$ Тогда проведем прямую MN параллельно прямым $A_1C_1$ и AC, точка N тоже будет лежать в сечении и, поскольку прямая $B_1M$ параллельна прямой BC, $\angle B_1MN=\angle BCA=45 в степени ( \circ )$ поэтому $B_1N=B_1M$ Обозначим эту длину за $x $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ Тогда сечение  — = бедренная трапеция с основаниями $2x$ и $4a $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента =4R$
Расстояние от MN до $B_1$ = x, а расстояние от $A_1C_1$ до $B_1$ = $\frac{2a}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} =R$ поэтому расстояние от MN до $A_1C_1$ = $R - x$ Далее,

$d ( MN,AC ) = $\sqrt{аргумента: d ( A_1C_1,AC ) ^2 + d ( MN,A_1C_1 ) ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 4R ^2 + ( R - x ) ^2}$ аргумента$

Значит, площадь трапеции ANMC равна:

$\frac{NM + AC}{2} \cdot d ( M,AC ) = ( x + 2R ) $\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2}$ аргумента$

при этом $x принадлежит [ 0; \frac{2a}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} ] = [ 0;R ]$ (крайние точки тоже можно брать, треугольник для $x=0$ рассматривается здесь как частный случай трапеции с нулевым основанием). Это выражение нужно минимизировать. Возьмем производную. Получим:

$\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2} аргумента + \frac{( x + 2R ) ( 2x - 2R )}{2 $\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2}$ аргумента} = $\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2}$ аргумента + \frac{( x + 2R ) ( x - R )}{$\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2}$ аргумента} =$ $\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2} аргумента + \frac{( x + 2R ) ( 2x - 2R )}{2 $\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2}$ аргумента} =$
$= $\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2}$ аргумента + \frac{( x + 2R ) ( x - R )}{$\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2}$ аргумента} =$

$= \frac{5R ^2 - 2Rx + x ^2 + x ^2 + Rx - 2R ^2}{$\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2}$ аргумента} = \frac{3R ^2 + 2x ^2 - Rx}{2 $\sqrt{аргумента: 5R ^2 - 2Rx + x ^2}$ аргумента}$

Поскольку производная всюду положительна, функция возрастает. Имеем:

$S_min=S ( 0 ) =2R ^2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

Ответ: а) $4,5R ^2$ б) $2R ^2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$