[рис.] а)  Докажем, что прямые AB и PQ перпендикулярны, отсюда и будет следовать, что сторона AB параллельна плоскости α.
Проведём высоту CH треугольника ABC. Он = бедренный, поэтому H  — середина AB. По теореме Фалеса для угла CBA перпендикуляр из точки M на прямую AB делит HB пополам, поэтому его основание и есть точка P. Осталось заметить, что отрезок QM перпендикулярен BC и, в силу того, что боковая грань призмы перпендикулярна основанию, плоскости ABC. Тогда по тереме о трёх перпендикулярах сторона AB перпендикулярна отрезку PQ. Таким образом, прямая AB параллельна плоскости α.
б)  В треугольнике ABC имеем: cos $ABC = \frac{BH}{BC}$ откуда BC  =  10, а также CH  =  8 по теореме Пифагора, и MP  =  4, как средняя линяя треугольника. Отсюда $QM = BB_1 = AA_1 = 5$
Пусть точка X  — точка пересечения α и отрезка PQ. Тогда отрезок MX перпендикулярен отрезку PQ по определению перпендикулярности прямой и плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник PQM: в нем отрезок MX  — высота, проведенная к гипотенузе. Основание высоты делит гипотенузу в отношении квадратов катетов, откуда $PX:XQ = 16:25$

Ответ: б)  16 : 25.