Преобразуем первое уравнение и запишем систему в виде

$$$\begin{cases} 2a + 4= ( x - 2 ) ^2 + ( y - 2 ) ^2 + z ^2 \\[6pt] ( xy + 4 ) \sin ( x + y ) + \cos ( y - x ) =1 \\[6pt] ( 2 - \frac{xyz ( a - 2 )}{$\sqrt{аргумента: 1 - 2xy}$ аргумента} ) \cdot ( a \cdot \text{tg} ^2 z + x + y ) =0. \end{cases}$$$

Заметим, что если тройка чисел $( x_0; y_0; z_0 )$ является решением системы, то тройка чисел $( y_0; x_0; z_0 )$ тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, должно выполняться равенство $x=y$ Тогда

$$$\begin{cases} 2a + 4=2 ( x - 2 ) ^2 + z ^2 \\[6pt] ( x ^2 + 4 ) \sin 2x=0 \\[6pt] ( 2 - \frac{x ^2 z ( a - 2 )}{$\sqrt{аргумента: 1 - 2x ^2}$ аргумента} ) \cdot ( a \cdot \text{tg} ^2 z + 2x ) =0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2a + 4=2 ( x - 2 ) ^2 + z ^2 \\[6pt] x= $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] k принадлежит Z \\[6pt] ( 2 - \frac{x ^2 z ( a - 2 )}{$\sqrt{аргумента: 1 - 2x ^2}$ аргумента} ) \cdot ( a \cdot \text{tg} ^2 z + 2x ) =0 \end{cases}$$ . = сильно$ $$$\begin{cases} 2a + 4=2 ( x - 2 ) ^2 + z ^2 \\[6pt] ( x ^2 + 4 ) \sin 2x=0 \\[6pt] ( 2 - \frac{x ^2 z ( a - 2 )}{$\sqrt{аргумента: 1 - 2x ^2}$ аргумента} ) \cdot ( a \cdot \text{tg} ^2 z + 2x ) =0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2a + 4=2 ( x - 2 ) ^2 + z ^2 \\[6pt] x= $\frac{\pi k}{2}$ \\[6pt] k принадлежит Z \\[6pt] ( 2 - \frac{x ^2 z ( a - 2 )}{$\sqrt{аргумента: 1 - 2x ^2}$ аргумента} ) \cdot ( a \cdot \text{tg} ^2 z + 2x ) =0 \end{cases}$$ . = сильно$
$\underset1 - 2x ^2 больше 0\mathop = сильно $$\begin{cases} 2a + 4=2 ( x - 2 ) ^2 + z ^2 \\[6pt] x=0 \\[6pt] ( 2 - \frac{x ^2 z ( a - 2 )}{$\sqrt{аргумента: 1 - 2x ^2}$ аргумента} ) \cdot ( a \cdot \text{tg} ^2 z + 2x ) =0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2a - 4=z ^2 \\[6pt] x=0 \\[6pt] a \cdot \text{tg} ^2 z=0. \end{cases}$$$

Теперь заметим, что если тройка чисел $( 0; 0; z_0 )$ является решением системы, то тройка чисел $( 0; 0; - z_0 )$ тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, должно выполняться равенство $z_0= - z_0=0$ Таким образом, единственным решением системы может быть только тройка чисел $( 0; 0;0 )$ Эта тройка чисел является решением системы при $a=2$
Проверим, есть ли при $a=2$ решения системы, отличные от $( 0; 0;0 ) :$

$$$\begin{cases} 2 \cdot 2 + 4= ( x - 2 ) ^2 + ( y - 2 ) ^2 + z ^2 \\[6pt] ( xy + 4 ) \sin ( x + y ) + \cos ( y - x ) =1 \\[6pt] ( 2 - \frac{xyz ( 2 - 2 )}{$\sqrt{аргумента: 1 - 2xy}$ аргумента} ) \cdot ( 2 \text{tg} ^2 z + x + y ) =0 \end{cases}$$ . \Rightarrow $$\begin{cases} ( x - 2 ) ^2 + ( y - 2 ) ^2 =8 - z ^2 \\[6pt] ( * ) y= - x - 2 \text{tg} ^2 z. ( ** ) \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 2 \cdot 2 + 4= ( x - 2 ) ^2 + ( y - 2 ) ^2 + z ^2 \\[6pt] ( xy + 4 ) \sin ( x + y ) + \cos ( y - x ) =1 \\[6pt] ( 2 - \frac{xyz ( 2 - 2 )}{$\sqrt{аргумента: 1 - 2xy}$ аргумента} ) \cdot ( 2 \text{tg} ^2 z + x + y ) =0 \end{cases}$$ . \Rightarrow$
$\Rightarrow $$\begin{cases} ( x - 2 ) ^2 + ( y - 2 ) ^2 =8 - z ^2 \\[6pt] ( * ) y= - x - 2 \text{tg} ^2 z. ( ** ) \end{cases}$$$

При $z=0$ графиком уравнения (⁎) в системе координат xOy является окружность с центром в точке $( 2; 2 )$ и радиусом $r=2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ а графиком уравнения (⁎⁎)  — прямая $y= - x$ которая касается этой окружности в точке $( 0; 0 )$
При любых других допустимых значениях z расстояние от центра окружности до прямой больше $2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ а радиус окружности меньше $2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ и система не имеет решений. Значит, при $a=2$ система имеет единственное решение $( 0; 0;0 )$

Ответ: 2.

Примечание Дмитрия Сузана.
Отсутствие решений кроме (0, 0, 0) при $a = 2$ можно доказать иначе. Пусть имеется точка с координатами $( x, y, z )$ Если она лежит на сфере, ее координаты должны удовлетворять условию $( x - 2 ) ^2 + ( y - 2 ) ^2 + z ^2 =8$ то есть $x ^2 + y ^2 + z ^2 =2 ( x + y )$ Тогда $x + y больше или = 0$ однако из уравнения $2 \text{tg} ^2 z + x + y=0$ следует, что $x + y меньше или = 0$ Значит, $x + y=0$ и тогда из третьего уравнения следует, что $z=0$ Подставляя $y= - x$ и $z=0$ в первое уравнение, получим $( x - 2 ) ^2 + ( - x - 2 ) ^2 =8$ откуда $x=0$ Следовательно, $x=y=z=0$ то есть при $a=2$ других решений нет.