[рис.] а)  Пусть радиус вписанной сферы равен r, радиус описанной  — 3r. Обозначим их центры точками I и O соответственно. Оба этих центра лежат на высоте SH, то есть OS  =  3r, IH  =  r, $x = OH - IH$ Положение центров сфер на высоте пока не определено однозначно, поэтому значение x может быть отрицательным. Пусть также точка M  — середина AB. По теореме Пифагора

$CH ^2 = CO ^2 - OH ^2 = ( 3r ) ^2 - ( r + x ) ^2 = ( 4r + x ) ( 2r - x )$

откуда

$MH = $\frac{CH}{2}$ = \sqrt{аргумента: $\frac{( 4r + x ) ( 2r - x )}{4}$} аргумента$
$SM ^2 = SH ^2 + HM ^2 = ( 4r + x ) ^2 + $\frac{( 4r + x ) ( 2r - x )}{4}$ = \frac{( 4r + x ) ( 18r + 3x )}{4}$ $SM ^2 = SH ^2 + HM ^2 =$
$= ( 4r + x ) ^2 + $\frac{( 4r + x ) ( 2r - x )}{4}$ = \frac{( 4r + x ) ( 18r + 3x )}{4}$

По свойству биссектрисы $\frac{SI}{IH} = \frac{SM}{MH}$ то есть

$\frac{( 3r + x ) ^2}{r ^2} = $\frac{( 4r + x ) ( 18r + 3x )}{( 4r + x ) ( 2r - x )}$ = сильно ( 3r + x ) ^2 ( 2r - x ) = r ^2 ( 18r + 3x ) = сильно$
$ = сильно 18r ^3 + 12r ^2 x + 2rx ^2 - 9r ^2 x - 6rx ^2 - x ^3 = 18r ^3 + 3r ^2 x = сильно x ^3 + 4x ^2 r = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 0, x = - 4r. \end{array} \right.$ $\frac{( 3r + x ) ^2}{r ^2} = $\frac{( 4r + x ) ( 18r + 3x )}{( 4r + x ) ( 2r - x )}$ = сильно ( 3r + x ) ^2 ( 2r - x ) = r ^2 ( 18r + 3x ) = сильно$
$ = сильно 18r ^3 + 12r ^2 x + 2rx ^2 - 9r ^2 x - 6rx ^2 - x ^3 = 18r ^3 + 3r ^2 x = сильно$
$ = сильно x ^3 + 4x ^2 r = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 0, x = - 4r. \end{array} \right.$ $\frac{( 3r + x ) ^2}{r ^2} = $\frac{( 4r + x ) ( 18r + 3x )}{( 4r + x ) ( 2r - x )}$ = сильно$
$ = сильно ( 3r + x ) ^2 ( 2r - x ) = r ^2 ( 18r + 3x ) = сильно$
$ = сильно 18r ^3 + 12r ^2 x + 2rx ^2 - 9r ^2 x - 6rx ^2 - x ^3 = 18r ^3 + 3r ^2 x = сильно$
$ = сильно x ^3 + 4x ^2 r = 0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x = 0, x = - 4r. \end{array} \right.$

Случай x  =  –4r невозможен, иначе SH  =  0. Следовательно, x  =  0, то есть точки I и O совпадают, а потому тетраэдр является правильным.
б)  Отрезок ML  — биссектриса в треугольнике SMC, но SM  =  MC, поскольку тетраэдр SABC  — правильный, поэтому SL  =  LC. Тогда объем пирамиды ABLC вдвое меньше объема тетраэдра SABC. Пусть AB  =  a, тогда

$CM = \frac{a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
$ML = $\sqrt{аргумента: BL ^2 - BM ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{3}{4}$ a ^2 - $\frac{a ^2}{4}$} аргумента = \frac{a $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$

Теперь можно выразить площади:

$S_ABL = $\frac{1}{2}$ \cdot ML \cdot AB = \frac{a ^2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$
$S_ALC = S_BLC = $\frac{1}{2}$ S_ABC = \frac{a ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{8}$
$S_ABLC = \frac{a ^2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} + 2 \cdot \frac{a ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = $\frac{a ^2}{4}$ \cdot ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )$

где SABLC  — площадь полной поверхности пирамиды ABLC. Ее объем равен

$V_ABLC = $\frac{1}{2}$ V_SABC = $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot \sqrt{аргумента: a ^2 - $\frac{a ^2}{3}$} аргумента \cdot \frac{a ^2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = \frac{a ^3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{24}$

Тогда $V_ABLC = $\frac{1}{3}$ \cdot S_ABLC \cdot r$ где r  — искомый радиус. Наконец,

$r = \frac{a ^3 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{8} : ( $\frac{a ^2}{4}$ \cdot ( $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента ) = \frac{a}{2 \cdot ( 1 + $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента )}$

Однако $a = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента + 1$ значит, $r = \frac{1}{2}$

Ответ: б)  $\frac{1}{2}$