[рис.] Для начала построим сечение PQR: проведем прямую QP до пересечения с прямой AC в точке E. В плоскости грани ADC соединим точки E и R: прямая ER пересечет сторону AD в точке S. Соединяя точки S, R, P и Q, получаем искомое сечение.
Предварительно найдем соотношения и длины некоторых сторон.
Рассмотрим плоскость ABC. В треугольнике BQP вычислим длину стороны QP по теореме \cos ов:

$QP = $\sqrt{аргумента: BQ ^2 + BP ^2 - 2 \cdot BQ \cdot BP \cdot \cos \angle QBP}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{4}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{7}{36}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{6}$ $QP = $\sqrt{аргумента: BQ ^2 + BP ^2 - 2 \cdot BQ \cdot BP \cdot \cos \angle QBP}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{4}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{2}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{7}{36}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{6}$

Теперь найдем угол BPQ:

$\cos альфа = $\frac{QP ^2 + BP ^2 - BQ ^2}{2 \cdot BP \cdot QP}$ = \frac{$\frac{7}{36}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{9}$ ,}{2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}{6} \cdot $\frac{1}{2}$} = \frac{2}{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}$

[рис.]
Тогда из основного тригонометрического тождества:

$\sin альфа = $\sqrt{аргумента: 1 - \cos ^2 альфа}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{4}{7}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{3}{7}$} аргумента$

Заметим, что $\angle BPQ = \angle APE = альфа$ как вертикальные, тогда можем найти угол AEP:

$бета = \pi - \angle PAE - \angle APE = $\frac{\pi}{3}$ - альфа$

Вычислим \sin угла β:

$\sin бета = \sin ( $\frac{\pi}{3}$ - альфа ) = \sin $\frac{\pi}{3}$ \cos альфа - \cos $\frac{\pi}{3}$ \sin альфа = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot \frac{2}{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента} - $\frac{1}{2}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{3}{7}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}$ $\sin бета = \sin ( $\frac{\pi}{3}$ - альфа ) = \sin $\frac{\pi}{3}$ \cos альфа - \cos $\frac{\pi}{3}$ \sin альфа =$
$= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot \frac{2}{$\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента} - $\frac{1}{2}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{3}{7}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}$

По теореме \sin ов для треугольника APE:

$\frac{AE}{\sin альфа} = $\frac{AP}{\sin бета}$ = сильно AE = \frac{$\frac{1}{2}$ \cdot \sqrt{аргумента: $\frac{3}{7}$} аргумента ,}{\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента}} = 1$

Теперь рассмотрим плоскость ADC. Из треугольника CRE по теореме \cos ов имеем:

$RE = $\sqrt{аргумента: CR ^2 + CE ^2 - 2 \cdot CR \cdot CE \cdot \cos \angle C}$ аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + 4 - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot 2 \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{31}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}{3}$ $RE = $\sqrt{аргумента: CR ^2 + CE ^2 - 2 \cdot CR \cdot CE \cdot \cos \angle C}$ аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + 4 - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot 2 \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{31}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}{3}$

Из этого же треугольника найдем угол CER:

$\cos гамма = $\frac{CE ^2 + RE ^2 - CR ^2}{2 \cdot CE \cdot RE}$ = \frac{4 + $\frac{31}{9}$ - $\frac{1}{9}$ ,}{2 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}{3} \cdot 2} = \frac{11}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}$

[рис.]
Тогда из основного тригонометрического тождества:

$\sin гамма = \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{121}{124}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}$

Найдем \sin угла ASE:

$\sin дельта = \sin ( $\frac{\pi}{3}$ - гамма ) = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} \cdot \frac{11}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента} - $\frac{1}{2}$ \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}$

По теореме \sin ов для треугольника ASE:

$\frac{AS}{\sin гамма} = $\frac{AE}{\sin дельта}$ = сильно AS = \frac{\frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента} ,}{\frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 31}$ аргумента}} = $\frac{1}{5}$ . \qquad ( * )$

[рис.]
Для дальнейшего решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: $\overrightarrowBC = \veci$ $\overrightarrowBA = \vecj$ $\overrightarrowBD = \veck$ Выразим векторы $\overrightarrowSQ$ и $\overrightarrowSP$ через базисные:

$\overrightarrowSP = \overrightarrowSA - \overrightarrowPA$
$\overrightarrowPA = $\frac{1}{2}$ \vecj$
$\overrightarrowSA = $\frac{1}{5}$ \overrightarrowDA = $\frac{1}{5}$ ( \vecj - \veck )$

откуда

$\overrightarrowSP = $\frac{1}{5}$ ( \vecj - \veck ) - $\frac{1}{2}$ \vecj = - ( $\frac{3}{10}$ \vecj + $\frac{1}{5}$ \veck )$
$\overrightarrowSQ = \overrightarrowSP + \overrightarrowPQ$
$\overrightarrowPQ = $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{1}{2}$ \vecj$
$\overrightarrowSQ = - ( $\frac{3}{10}$ \vecj + $\frac{1}{5}$ \veck ) + $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{1}{2}$ \vecj = $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck$

Заметим, что $|\veca| = $\sqrt{аргумента: \veca}$ аргумента ^2$ и $\veci \vecj = \veci \veck = \vecj \veck = 1 \cdot 1 \cdot \cos $\frac{\pi}{3}$ = \frac{1}{2}$ Найдем длины этих векторов:

$|\overrightarrowSP| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{3}{10}$ \vecj} аргумента + $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 = \sqrt{аргумента: $\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{25}$ + 2 \cdot $\frac{3}{10}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{13}{100}$ + $\frac{3}{50}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{10}$ $|\overrightarrowSP| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{3}{10}$ \vecj} аргумента + $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{25}$ + 2 \cdot $\frac{3}{10}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{13}{100}$ + $\frac{3}{50}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{10}$ $|\overrightarrowSP| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{3}{10}$ \vecj} аргумента + $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{25}$ + 2 \cdot $\frac{3}{10}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{13}{100}$ + $\frac{3}{50}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{10}$

$|\overrightarrowSQ| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{1}{3}$ \veci} аргумента - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 = \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{16}{25}$ + $\frac{1}{25}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + 2 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{17}{25}$ - $\frac{4}{15}$ - $\frac{1}{15}$ + $\frac{4}{25}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{21}{25}$ - $\frac{2}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 139}$ аргумента}{15}$ $|\overrightarrowSQ| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{1}{3}$ \veci} аргумента - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{16}{25}$ + $\frac{1}{25}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + 2 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{17}{25}$ - $\frac{4}{15}$ - $\frac{1}{15}$ + $\frac{4}{25}$} аргумента = \sqrt{аргумента: $\frac{21}{25}$ - $\frac{2}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 139}$ аргумента}{15}$ $|\overrightarrowSQ| = \sqrt{аргумента: ( $\frac{1}{3}$ \veci} аргумента - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) ^2 =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{16}{25}$ + $\frac{1}{25}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - 2 \cdot $\frac{1}{3}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + 2 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{1}{9}$ + $\frac{17}{25}$ - $\frac{4}{15}$ - $\frac{1}{15}$ + $\frac{4}{25}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: $\frac{21}{25}$ - $\frac{2}{9}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 139}$ аргумента}{15}$

Осталось вычислить скалярное произведение данных векторов:

$\overrightarrowSP \cdot \overrightarrowSQ = - ( $\frac{3}{10}$ \vecj + $\frac{1}{5}$ \veck ) \cdot ( $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) =$
$= - $\frac{1}{10}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{6}{25}$ + $\frac{3}{50}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{15}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{4}{25}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{17}{50}$ - $\frac{1}{30}$ = \frac{46}{150}$ $\overrightarrowSP \cdot \overrightarrowSQ = - ( $\frac{3}{10}$ \vecj + $\frac{1}{5}$ \veck ) \cdot ( $\frac{1}{3}$ \veci - $\frac{4}{5}$ \vecj - $\frac{1}{5}$ \veck ) =$
$= - $\frac{1}{10}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{6}{25}$ + $\frac{3}{50}$ \cdot $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{15}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{4}{25}$ \cdot $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{25}$ =$
$= $\frac{17}{50}$ - $\frac{1}{30}$ = \frac{46}{150}$

Окончательно получаем:

$\cos \widehatSP; SQ = $\frac{\overrightarrowSP \cdot \overrightarrowSQ}{|\overrightarrowSP| \cdot | \overrightarrowSQ|}$ = \frac{$\frac{46}{150}$ ,}{\frac{$\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента}{10} \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 139}$ аргумента}{15}} = \frac{46}{$\sqrt{аргумента: 2641}$ аргумента}$

откуда $\widehatSP; SQ = \arccos \frac{46}{$\sqrt{аргумента: 2641}$ аргумента}$

Ответ: $\arccos \frac{46}{$\sqrt{аргумента: 2641}$ аргумента}$

[рис.]
Примечание Дмитрия Гущина.
Эту часть решения можно несколько сократить, применив теорему Менелая для тетраэдра: точки S, R, P и Q, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда

$\frac{AS}{SD} \cdot $\frac{DR}{RC}$ \cdot $\frac{CQ}{QB}$ \cdot $\frac{BP}{PA}$ = 1$

В нашем случае:

$\frac{AS}{SD} \cdot $\frac{2}{1}$ \cdot $\frac{2}{1}$ \cdot $\frac{1}{1}$ = 1 = сильно $\frac{AS}{SD}$ = $\frac{1}{4}$ = сильно AS = \frac{1}{5}$