[рис.] Двугранный угол измеряется линейным углом, который находится, как угол между перпендикулярами, проведенными в каждой из плоскостей к общей линии пересечения. Построим в грани SCD апофему SL: так как пирамида SABCD правильная, то боковая грань является = бедренным треугольником, поэтому апофема (являющаяся высотой) падает в середину стороны основания CD. В основании пирамиды проведем отрезок LK (K ∈ AB), перпендикулярный стороне CD (то есть параллельно сторонам AD и BC). Полученный угол ∠SLK является искомым линейным углом.
Из построения ясно, что стороны сечения DM и CN равны (отрезки, проведенные в равных треугольниках), полученное сечение является = бедренной трапецией DMNC. Значит, чтобы найти ее площадь, удобнее всего найти ее основание MN и высоту PL.
Из формулы для объема пирамиды найдем высоту пирамиды:

$V = $\frac{1}{3}$ Sh = сильно h = $\frac{3V}{S}$ = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Площадь основания S  =  12  =  1.
Тогда из прямоугольного треугольника SOL по теореме Пифагора получим:

$h_a = SL = $\sqrt{аргумента: SO ^2 + OL ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 2 + $\frac{1}{4}$} аргумента = \frac{3}{2}$

Из треугольника SKL по теореме \cos ов получаем:

$\cos \angle S = $\frac{SK ^2 + SL ^2 - KL ^2}{2 \cdot SK \cdot SL}$ = \frac{( $\frac{3}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{3}{2}$ ) ^2 - 1 ^2 ,}{2 \cdot $\frac{3}{2}$ \cdot $\frac{3}{2}$} = \frac{7}{9}$

Далее, по свойству биссектрисы имеем SP : SL  =  KP : KL; обозначив SP за x, получим:

$\frac{x}{$\frac{3,}{2}$} = \frac{$\frac{3}{2}$ - x,}{1} = сильно $\frac{2}{3}$ x + x = $\frac{3}{2}$ = сильно x = 0,9$

Значит SP  =  0,9; PK  =  0,6.
По теореме \cos ов для треугольника SPL получаем, что $PL ^2 = SP ^2 + SL ^2 - 2 \cdot SP \cdot SL \cdot \cos \angle S$ то есть

$PL ^2 = 0,9 ^2 + 1,5 ^2 - 2 \cdot 0,9 \cdot 1,5 \cdot $\frac{7}{9}$ = 0,81 + 2,25 - 2,1 = 0,96 = $\frac{24}{25}$ \Rightarrow PL = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{5}$ $PL ^2 = 0,9 ^2 + 1,5 ^2 - 2 \cdot 0,9 \cdot 1,5 \cdot $\frac{7}{9}$ = 0,81 + 2,25 - 2,1 = 0,96 = $\frac{24}{25}$ \Rightarrow$
$\Rightarrow PL = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{5}$

Теперь рассмотрим SAB: MN || AB, откуда $\triangleSAB\sim \triangleSMN$ (по 3-м углам).

Тогда $\frac{MN}{AB} = \frac{SP}{SK}$ откуда $MN = $\frac{0,9}{1,5}$ = 0,6$

Итак, площадь сечения равна:

$S_DMNC = $\frac{1}{2}$ ( DC + MN ) PL = $\frac{1}{2}$ ( 1 + 0,6 ) \frac{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{5} = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{25}$

Ответ: $S = \frac{8 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{25}$