[рис.] Построение сечения.
Строим последовательно:
1.  Отрезок KL, $H принадлежит KL,K принадлежит AC,L принадлежит AB,KL||BC$
2.  Отрезок $LM,M принадлежит SB,LM||SA$
3.  Отрезок $KN,N принадлежит SC,KN||SA$
4.  Отрезок MN.
Докажем, что LMNK  — искомое сечение.
Во-первых, LM || SA, KN || SA, следовательно, LM || KN. Поскольку через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, то точки L, M, N, K принадлежат одной плоскости.
Во-вторых, SA || LM по построению, значит, SA || (LM); аналогично KL || BC (по построению), следовательно, BC || (LM).
Теперь докажем, что LMNK  — прямоугольник.
Проведем биссектрису угла BAC. Очевидно, она пройдет через точку H, разделит отрезок BC на два равных отрезка (обозначим точку пересечения P), будет перпендикулярной к отрезку BC.
Соединим точки S и P отрезком.
Далее мы вправе утверждать, что при зеркальной симметрии относительно плоскости SA заданная пирамида перейдет сама на себя. Причем, вершины пирамиды A и S, точка P перейдут сами в себя, вершина В перейдет в вершину С и, наоборот, точка С перейдет в точку В. Так как KL || BC, то точки К и L перейдут друг в друга (по теореме Фалеса будет справедливым равенство АК : КС = АL : LB), кроме того, АС  =  АВ по условию. Аналогично и точки M и N перейдут друг в друга, поскольку при той же симметрии $\Delta ASC$ и $\Delta ASB$ перейдут друг на друга.
Тогда справедливы равенства: KN=LM, KM=LN.
Из равенства отрезков KN и LM, а также их параллельности (показано выше) следует, что четырехугольник LMNK  — параллелограмм, А так как у него равны диагонали, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Осталось вычислить площадь прямоугольника LMNK.
Так как $\Delta ABC$   — = сторонний, то $AP= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$ $AH= $\frac{2}{3}$ \cdot AP= \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$
В $\Delta ASH$ где $\angle AHS=90 в степени ( \circ ) ,S= $\frac{AH}{\cos \angle SAH}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} : $\frac{1}{2}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$
Так как KL || BC, то $\Delta LAK\sim\Delta BAC$ Отсюда: $\frac{KL}{BC} = $\frac{AH}{AP}$ ,KL=BC \cdot $\frac{AH}{AP}$ = \frac{2}{3}$
Из параллельности AS и ML следует, что $\Delta LBM\sim \Delta ABC, $\frac{BL}{AB}$ = $\frac{ML}{AS}$ ,ML=AS \cdot $\frac{BL}{AB}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3} \cdot $\frac{1}{3}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{9}$

$S ( LMNK ) =KL \cdot ML= $\frac{2}{3}$ \cdot \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{9} = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{27}$

Ответ: $\frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{27}$