[рис.] Задачу рассмотрим в декартовой системе координат с началом в точке $B ( 0;0;0 )$ Оси координат направлены, как показано на рисунке.
Построим сечение куба плоскостью, параллельной прямой BM и проходящей через $AK$ Для этого в плоскости $BCC_1$ из точки K провести прямую, параллельную $BM$ Она пересечет $CC_1$ в точке $C_1$ поскольку $\frac{1}{3} + $\frac{2}{3}$ =1$ Соединим $A_1$ с точками K и $C_1$ отрезками.
Теперь найдем уравнение плоскости $A_1KC_1$

$A_1 ( 1;0;1 )$ $K ( 0;0; $\frac{1}{3}$ )$ $C_1 ( 0;1;1 )$

$$$\begin{cases} новая строка a + c + d=0 \\[6pt] новая строка $\frac{1}{3}$ c + d=0 \\[6pt] новая строка b + c + d=0 . \end{cases}$$$

$c= - 3d$ $ - 3d + d=0$ $a=2d$ $b - 3d + d=0$ $b=2d$
$2dx + 2dy - 3dz + d=0$ или $2x + 2y - 3z + 1=0$

Найдем расстояние от точки B до найденной плоскости.

$\rho = \frac{\left| 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1 |}{$\sqrt{аргумента: 4 + 4 + 9}$ аргумента} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента} = \frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17}$

Ответ: $\frac{$\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента}{17}$