[рис.] а)  Пусть для определенности стороны основания, как и в подпункте б) будет равны 1, а боковые ребра равны 3. Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке. Выпишем координаты некоторых точек: $B ( 0; - 1;0 )$ $D_1 ( - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} ; $\frac{1}{2}$ ;3 )$ $F_1 ( \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} ; $\frac{1}{2}$ ;3 )$ Зная, что точки B, D1, F1 лежат в плоскости β, будем искать уравнение секущей плоскости α:

$$$\begin{cases} новая строка - b + d=0 \\[6pt] новая строка - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} a + $\frac{1}{2}$ b + 3c + d=0 \\[6pt] новая строка \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} a + $\frac{1}{2}$ b + 3c + d=0 \end{cases}$$ .\left \beginalign новая строка ( 1 ) новая строка ( 2 ) новая строка ( 3 ) \endalign$

Из первого уравнения: b  =  d.
Из уравнения (3) вычтем уравнение (2), получим:

$\sqrt{аргумента: 3} аргумента a=0 = сильно a=0$

Подставив полученные значения а и b в уравнение (3), будем иметь:

$\frac{1}{2} d + 3c + d=0 = сильно 3c= - $\frac{3}{2}$ d = сильно c= - \frac{d}{2}$

Таким образом, уравнение плоскости $альфа$ имеет вид: $dy - $\frac{d}{2}$ z + d=0$ или $2y - z + 2=0$
А уравнение плоскости DCC1: $x= - \frac{3}{2}$ или $2x + 3=0$
Нормальные векторы этих двух плоскостей:

$\overlinen_1= ( \overline0;2; - 1 ) ;\overlinen_2= ( \overline2;0;0 ) .\overlinen_1 \cdot \overlinen_2=0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 0=0$

значит, $\overlinen_1\bot \overlinen_2$ откуда: $альфа \bot ( DCC_1 )$
б)  Пусть плоскость α пересекает ребро призмы CC1 в точке N, а ребро AA1 в точке M. Подставляя известные абсциссы и ординаты этих точек в уравнение плоскости α, найдем их аппликаты:

$ - 2 \cdot $\frac{1}{2}$ - z_N + 2=0 = сильно z_N=1$

Аналогично $z_M=1$
Итак, полученное сечение представляет собой пятиугольник BND1F1M, проекцией которого на нижнее основание призмы будет пятиугольник ABCDF.

Нетрудно найти \cos угла между плоскостью α и нижним основанием призмы. Нормальный вектор плоскости α был найден раньше, он имеет вид:

$\overlinen_1= ( \overline0;2; - 1 )$ $|\overlinen_1|= $\sqrt{аргумента: 4 + 1}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

Нижнее основание призмы имеет уравнение: z  =  0, ее нормальный вектор $\overlinen= ( \overline0;0;1 ) ;|\overlinen|=1$
Если φ   — угол между сечением и указанным основанием призмы, то

$\cos \varphi = $\frac{|n_1 \cdot n|}{|n_1| \cdot |n|}$ = \frac{|0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1|}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента \cdot 1} = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}$
$S ( ABCDF ) =S_осн. - S ( DEF ) .S_осн.=6 \cdot S ( AOB ) =6 \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
$S ( DEF ) =S ( DOE ) = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} .S ( ABCDF ) = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} =$
$= \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} .S_осн.= $\frac{S ( ABCDF )}{\cos \varphi}$ = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{4} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4}$ $S ( DEF ) =S ( DOE ) = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} .S ( ABCDF ) =$
$= \frac{3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} - \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} .S_осн.=$
$= $\frac{S ( ABCDF )}{\cos \varphi}$ = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{4} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4}$

Ответ: б) $\frac{5 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4}$