В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро = 10, а сторона основания равна $2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента$ Через точки В и С перпендикулярно ребру проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит пирамиду PABC на два многогранника, объемы которых относятся как 2 : 3.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды PABC плоскостью α.
а) Докажите, что плоскость α делит пирамиду PABC на два многогранника, объемы которых относятся как 2 : 3.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды PABC плоскостью α.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Проведем апофему PD заданной пирамиды (D ∈ AC).
$PD= $\sqrt{аргумента: PA}$ аргумента ^2 - AD ^2 = $\sqrt{аргумента: 100 - 30}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 70}$ аргумента$
Пусть K — точка пересечения плоскости α и ребра PA заданной пирамиды. Так как PA ⊥α, KC ⊂ α, KB ⊂ α, то PA ⊥ KC, PA ⊥ KB.
В Δ PAC
$KC= $\frac{AC \cdot PD}{PA}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 70}$ аргумента}{10} =2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
(Использован метод площадей). Очевидно, $KB=K=2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
В прямоугольном треугольнике AKC
$AK= $\sqrt{аргумента: AC}$ аргумента ^2 - KC ^2 = $\sqrt{аргумента: 120 - 84}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 36}$ аргумента =6.PK=PA - AK=4$
Заданная пирамида плоскостью α разбивается на две пирамиды с общим основанием — Δ BKC и высотами AK и PK. Найдем отношение их объемов.
Если $V ( PKC ) =V_1,V ( AKC ) =V_2$ то
$\frac{V_1}{V_2} = $\frac{3V_1}{3V_2}$ = $\frac{S ( KBC ) \cdot AK}{S ( KBC ) \cdot PK}$ = $\frac{AK}{PK}$ = \frac{2}{3}$
что и требовалось доказать.
б) В = бедренном треугольнике BKC проведем KE ⊥ BC. Ясно, что BE = CE.
$KE= $\sqrt{аргумента: KC}$ аргумента ^2 - CE ^2 = $\sqrt{аргумента: 84 - 30}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 54}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$
$S ( BKC ) = $\frac{1}{2}$ BC \cdot KE= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} =3 \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента =18 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
Ответ: б) $18 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
$PD= $\sqrt{аргумента: PA}$ аргумента ^2 - AD ^2 = $\sqrt{аргумента: 100 - 30}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 70}$ аргумента$
Пусть K — точка пересечения плоскости α и ребра PA заданной пирамиды. Так как PA ⊥α, KC ⊂ α, KB ⊂ α, то PA ⊥ KC, PA ⊥ KB.
В Δ PAC
$KC= $\frac{AC \cdot PD}{PA}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента \cdot $\sqrt{аргумента: 70}$ аргумента}{10} =2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
(Использован метод площадей). Очевидно, $KB=K=2 $\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента$
В прямоугольном треугольнике AKC
$AK= $\sqrt{аргумента: AC}$ аргумента ^2 - KC ^2 = $\sqrt{аргумента: 120 - 84}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 36}$ аргумента =6.PK=PA - AK=4$
Заданная пирамида плоскостью α разбивается на две пирамиды с общим основанием — Δ BKC и высотами AK и PK. Найдем отношение их объемов.
Если $V ( PKC ) =V_1,V ( AKC ) =V_2$ то
$\frac{V_1}{V_2} = $\frac{3V_1}{3V_2}$ = $\frac{S ( KBC ) \cdot AK}{S ( KBC ) \cdot PK}$ = $\frac{AK}{PK}$ = \frac{2}{3}$
что и требовалось доказать.
б) В = бедренном треугольнике BKC проведем KE ⊥ BC. Ясно, что BE = CE.
$KE= $\sqrt{аргумента: KC}$ аргумента ^2 - CE ^2 = $\sqrt{аргумента: 84 - 30}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 54}$ аргумента =3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента$
$S ( BKC ) = $\frac{1}{2}$ BC \cdot KE= \frac{2 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{2} =3 \cdot 6 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента =18 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
Ответ: б) $18 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
Правильный ответ:
б) $18 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67954 • Задание №14
Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит ромб ABCD со стороной 10. Известно, что $SA = S...
ID 66290 • Задание №8
Дано уравнение $косинус в квадрате x левая круглая скобка тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: 9 Пи ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено
ИЛИ
при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ. | 2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено
ИЛИ
при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №10 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 66389
В 2008 году в городском квартале проживало $40 \thinspace 000$ человек. В 2009 году, в результа...
ID 66390
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешев...
ID 66391
Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек доро...
ID 66392
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общ...
ID 66393
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей...