Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит ромб ABCD со стороной 10. Известно, что $SA = SC = 10 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ $SB = 20$ и $AC = 10$
а) Докажите, что ребро SD перпендикулярно плоскости основания пирамиды SABCD.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и SB.
а) Докажите, что ребро SD перпендикулярно плоскости основания пирамиды SABCD.
б) Найдите расстояние между прямыми AC и SB.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Из условия
$BO ^2 = AB ^2 - AO ^2 =10 ^2 - 5 ^2 = 75$
откуда $BD = 2 $\sqrt{аргумента: 75}$ аргумента = 10 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Из = бедренного треугольника ASC получаем:
$SO ^2 = SA ^2 - AO ^2 =200 - 25 = 175$
откуда $SO = 5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ По теореме \cos ов для треугольника SOB находим:
$\cos \angle SOB = $\frac{SO ^2 + BO ^2 - SB ^2}{2 \cdot SO \cdot BO}$ = \frac{175 + 75 - 400}{2 \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = - \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}$
откуда $\cos \angle SOD = \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}$ Следовательно, по теореме \cos ов для треугольника SOD
$SD ^2 = SO ^2 + OD ^2 - 2 \cdot SO \cdot OD \cdot \cos \angle SOD =$
$=175 + 75 - 2 \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента} = 250 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 100$ $SD ^2 = SO ^2 + OD ^2 - 2 \cdot SO \cdot OD \cdot \cos \angle SOD =$
$=175 + 75 - 2 \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента} =$
$= 250 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 100$
откуда SD = 10. Заметим, что $SD ^2 = SB ^2 - BD ^2$ откуда $\angle SDB = 90 ^{\circ}$ Аналогично $SD ^2 = AS ^2 - AD ^2$ откуда $\angle SDA = 90 ^{\circ}$ Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SD перпендикулярна плоскости ABCD.
[рис.]
б) Заметим, что диагональ AC перпендикулярна плоскости SBD (поскольку диагонали AC и BD перпендикулярны и диагональ AC перпендикулярна ребру SD), поэтому искомое расстояние = расстоянию от точки O до ребра SB.
Пусть точка H — основание перпендикуляра, проведенного из точки O к ребру BS. Треугольники BOH и BSD подобны, следовательно,
$\frac{OH}{SD} = \frac{BO}{BS}$
следовательно,
$OH = $\frac{SD \cdot BO}{BS}$ = \frac{10 \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{20} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
Ответ: б) $\frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
$BO ^2 = AB ^2 - AO ^2 =10 ^2 - 5 ^2 = 75$
откуда $BD = 2 $\sqrt{аргумента: 75}$ аргумента = 10 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ Из = бедренного треугольника ASC получаем:
$SO ^2 = SA ^2 - AO ^2 =200 - 25 = 175$
откуда $SO = 5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ По теореме \cos ов для треугольника SOB находим:
$\cos \angle SOB = $\frac{SO ^2 + BO ^2 - SB ^2}{2 \cdot SO \cdot BO}$ = \frac{175 + 75 - 400}{2 \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = - \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}$
откуда $\cos \angle SOD = \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента}$ Следовательно, по теореме \cos ов для треугольника SOD
$SD ^2 = SO ^2 + OD ^2 - 2 \cdot SO \cdot OD \cdot \cos \angle SOD =$
$=175 + 75 - 2 \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента} = 250 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 100$ $SD ^2 = SO ^2 + OD ^2 - 2 \cdot SO \cdot OD \cdot \cos \angle SOD =$
$=175 + 75 - 2 \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 21}$ аргумента} =$
$= 250 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 100$
откуда SD = 10. Заметим, что $SD ^2 = SB ^2 - BD ^2$ откуда $\angle SDB = 90 ^{\circ}$ Аналогично $SD ^2 = AS ^2 - AD ^2$ откуда $\angle SDA = 90 ^{\circ}$ Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SD перпендикулярна плоскости ABCD.
[рис.]
б) Заметим, что диагональ AC перпендикулярна плоскости SBD (поскольку диагонали AC и BD перпендикулярны и диагональ AC перпендикулярна ребру SD), поэтому искомое расстояние = расстоянию от точки O до ребра SB.
Пусть точка H — основание перпендикуляра, проведенного из точки O к ребру BS. Треугольники BOH и BSD подобны, следовательно,
$\frac{OH}{SD} = \frac{BO}{BS}$
следовательно,
$OH = $\frac{SD \cdot BO}{BS}$ = \frac{10 \cdot 5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{20} = \frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
Ответ: б) $\frac{5 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
Правильный ответ:
б) $дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67355 • Задание №12
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: н...
ID 70868 • Задание №18
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
$дробь: числитель: корень из: начало аргу...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №14 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67919
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Д...
ID 67920
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3$ а высота...
ID 67921
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между...
ID 67922
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым ...
ID 67923
Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расс...