[рис.] а)  Отметим на продолжении CC1 за точку C1 точку K1 так, чтобы $C_1K_1= $\frac{1}{2}$ CC_1$ Тогда BK параллелен B1K1. Осталось доказать, что $\angle AB_1K_1=90 в степени ( \circ )$ Пусть $AB=AA_1=2a$ Тогда:

$AB_1= $\sqrt{аргумента: 4a ^2 + 4a ^2}$ аргумента =a $\sqrt{аргумента: 8}$ аргумента$

$B_1K_1=BK= $\sqrt{аргумента: 4a ^2 + a ^2}$ аргумента =a $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

$AK_1= $\sqrt{аргумента: AC ^2 + CK_1 ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 4a ^2 + 9a ^2}$ аргумента =a $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента$

Значит, в треугольнике AB1K1 выполняется равенство $AB_1 ^2 + B_1K_1 ^2 =AK_1 ^2$ и треугольник прямоугольный.
б)  Теперь найдём расстояние между прямыми AB1 и BK:

$d ( BK,AB_1 ) =d ( BK,AB_1K ) =d ( B, AB_1K_1 ) = $\frac{3V_AB_1K_1B}{S_AB_1K_1}$ = $\frac{d ( K_1, ABB_1 ) S_ABB_1}{S_AB_1K_1}$ =$ $d ( BK,AB_1 ) =d ( BK,AB_1K ) =d ( B, AB_1K_1 ) =$
$= $\frac{3V_AB_1K_1B}{S_AB_1K_1}$ = $\frac{d ( K_1, ABB_1 ) S_ABB_1}{S_AB_1K_1}$ =$

$= $\frac{d ( C, ABB_1 ) \cdot 2S_ABB_1}{2S_AB_1K_1}$ = $\frac{d ( C, AB ) \cdot AB \cdot BB_1}{AB_1 \cdot B_1K_1}$ = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \cdot 6 \cdot 6}{6 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента} = \frac{6 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}$

Ответ: б) $\frac{3 $\sqrt{аргумента: 30}$ аргумента}{5}$