[рис.] а)  Пусть точка T на отрезке B1D1 такова, что B1T : TD1 = 3 : 1, тогда MT || BD1 и точка T лежит в плоскости β. Обозначим за K точку пересечения C1T и A1B1. Опустим из точки T перпендикуляр TQ на A1B1. Тогда треугольники KTQ и KC1B1 будут подобны с коэффициентом $TQ:C_1B_1= \frac{3}{4}$ откуда

$KB_1=4QB_1=4 \cdot $\frac{3}{4}$ A_1B_1=3A_1B_1$ и KA1 = 2A1B1.

Обозначим за K1 точку пересечения KM и $AA_1$ Опустим из точки M перпендикуляр MM1 на AA1. Тогда треугольники KK1A1 и MM1K1 будут подобны с коэффициентом KA1 : MM1 = 2, откуда

$A_1K_1= $\frac{2}{3}$ A_1M_1= $\frac{2}{3}$ \cdot $\frac{3}{4}$ AA_1= $\frac{1}{2}$ AA_1$

[рис.] б)  Обозначим за $T_1$ точку пересечения $C_1T$ и $A_1D_1$ Тогда C1T1K1M  — искомое сечение являющееся трапецией. Найдем ее стороны.

$C_1T_1= $\sqrt{аргумента: C в степени ( \phantom2}$ аргумента ) _1D_1 ^2 + D в степени ( \phantom2 ) _1T_1 ^2 =4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента , K_1T_1= $\sqrt{аргумента: K в степени ( \phantom2}$ аргумента ) _1A_1 ^2 + A в степени ( \phantom2 ) _1T_1 ^2 =10$
$K_1M= $\sqrt{аргумента: K в степени ( \phantom2}$ аргумента ) _1M_1 ^2 + M в степени ( \phantom2 ) _1M ^2 =3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента , C_1M= $\sqrt{аргумента: C в степени ( \phantom2}$ аргумента ) _1B в степени ( \phantom2 ) _1 ^2 + B в степени ( \phantom2 ) _1M ^2 =15$

Проведем в этой трапеции отрезок, параллельный боковой стороне. Она разобьется на параллелограмм и треугольник. Очевидно, площадь отсечённого треугольника составит $\frac{1}{5}$ площади трапеции (основание треугольника 15 − 10  =  5 против суммы оснований 25 при одинаковой высоте). Найдем теперь S  — площадь отсеченного треугольника со сторонами $4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента ,3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ,5$ по формуле Герона

$16S ^2 = ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента + 5 ) ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента - 5 ) ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента + 5 ) ( 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 5 ) =$ $16S ^2 =$
$= ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента + 5 ) ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента - 5 ) ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента + 5 ) ( 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента - 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 5 ) =$
$= ( ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ) ^2 - 5 ^2 ) ( 5 ^2 - ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ) ^2 ) = ( 24 $\sqrt{аргумента: 170}$ аргумента + 288 ) ( 24 $\sqrt{аргумента: 170}$ аргумента - 288 ) =$ $= ( ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента + 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ) ^2 - 5 ^2 ) ( 5 ^2 - ( 4 $\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента - 3 $\sqrt{аргумента: 17}$ аргумента ) ^2 ) =$
$= ( 24 $\sqrt{аргумента: 170}$ аргумента + 288 ) ( 24 $\sqrt{аргумента: 170}$ аргумента - 288 ) =$
$=24 ^2 \cdot 170 - 288 ^2 =4 ^2 \cdot 3 ^2 \cdot 2 ^2 ( 170 - 12 ^2 ) =16 \cdot 3 ^2 \cdot 2 ^2 \cdot 26$

Тогда $S=6 $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента$ откуда площадь сечения $S_C_1T_1K_1M=5S=30 $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента$

Ответ:б) $30 $\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента$