[рис.] а)  Пусть T  — середина $AA_1$ тогда $TK\parallel A_1B\parallel D_1C$ Значит, точка T лежит в плоскости $CKD_1$ и сечение  — трапеция $KTD_1C$ Вычислим теперь объем одной из частей (за V обозначен объем параллелепипеда).

$V_AKCDTD_1=V_DTAK + V_D_1TDK + V_D_1DKC= $\frac{1}{3}$ \cdot DA \cdot S_ATK + $\frac{1}{3}$ \cdot KA \cdot S_D_1TD + frac13 \cdot D_1D \cdot S_DKC=$ $V_AKCDTD_1=V_DTAK + V_D_1TDK + V_D_1DKC=$
$= $\frac{1}{3}$ \cdot DA \cdot S_ATK + $\frac{1}{3}$ \cdot KA \cdot S_D_1TD + frac13 \cdot D_1D \cdot S_DKC=$
$= $\frac{1}{3}$ ( DA \cdot $\frac{1}{8}$ S_AA_1B_1B + $\frac{1}{2}$ BA \cdot $\frac{1}{2}$ S_AA_1D_1D + DD_1 \cdot $\frac{1}{2}$ S_ABCD ) = $\frac{1}{3}$ ( $\frac{1}{8}$ V + $\frac{1}{4}$ V + $\frac{1}{2}$ V ) = $\frac{7}{24}$ V$ $= $\frac{1}{3}$ ( DA \cdot $\frac{1}{8}$ S_AA_1B_1B + $\frac{1}{2}$ BA \cdot $\frac{1}{2}$ S_AA_1D_1D + DD_1 \cdot $\frac{1}{2}$ S_ABCD ) =$
$= $\frac{1}{3}$ ( $\frac{1}{8}$ V + $\frac{1}{4}$ V + $\frac{1}{2}$ V ) = $\frac{7}{24}$ V$

откуда и следует утверждение задачи.

б)  Введем координаты с началом в точке A и с осями $x,y,z$ направленными вдоль прямых $AB,AD,AA_1$ соответственно. Тогда координаты точек будут такими: $K ( 3,0,0 ) , M ( 0,0,3 ) ,C ( 6,4,0 )$ Написав уравнение плоскости, проходящей через них, получим $4x - 3y + 4z - 12=0$ Тогда расстояние от точки $( 0;4;0 )$ до этой плоскости составит $\frac{24}{$\sqrt{аргумента: 41}$ аргумента}$