[рис.] Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AB, AD и $AA_1$ Тогда координаты точек будут $Q ( 0; $\frac{2}{3}$ ; $\frac{2}{3}$ )$ $( $\frac{1}{2}$ ;0;1 )$ и $( $\frac{1}{2}$ ;1; $\frac{1}{2}$ )$ (это центр грани $BCC_1B_1$ ). Найдем уравнение плоскости PQR. Пусть это $Ax + By + Cz + D=0$ Подставляя координаты точек, получим систему уравнений.

$\{ \beginaligned новая строка $\frac{2}{3}$ B + $\frac{2}{3}$ C + D=0, новая строка $\frac{1}{2}$ A + C + D=0, новая строка $\frac{1}{2}$ A + B + $\frac{1}{2}$ C + D=0. \endaligned$

Вычитая из второго уравнения третье, получим $\frac{1}{2} C - B=0$ Возьмем $C=6$ тогда $B=3$ Из первого уравнения тогда $D= - 6$ и из второго $A=0$ Итак уравнение плоскости PQR имеет вид $3y + 6z - 6=0$ или $y + 2z - 2=0$ В частности плоскость параллельна оси OX, поэтому сечение выглядит как прямоугольник, одна из сторон которого  — ребро $A_1D_1$ а вторая  — параллельный этому ребру отрезок, проходящий через R.
а)  Очевидно точка $( $\frac{2}{3}$ ; $\frac{2}{3}$ ; $\frac{2}{3}$ )$ лежит в этой плоскости и на диагонали $AC_1$ и делит эту диагональ в отношении $2:1$
б)  Две стороны прямоугольника равны 1. Остальные две можно найти по теореме Пифагора из треугольника $D_1C_1T$ где T  — середина $CC_1$ Далее,

$D_1T= $\sqrt{аргумента: D_1C_1 ^2 + C_1T ^2}$ аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$

Значит, периметр сечения равен $2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$

Ответ: а) $2:1$ б) $2 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$