[рис.] а)  Пусть SE  — это апофема грани SAC, а SF  — грани SAB, где E и F являются серединами AC и AB соответственно. Пусть M' и N'  — точки пересечения DM и DN c AC и AB. Рассмотрим треугольники SDM и SDN, в них SD  — общая сторона, углы DSM и DSN равны как половины плоского угла при вершине. Углы DMS и DNS равны α, следовательно, углы SDM и SDN равны и при этом SD  — общая сторона. Таким образом, треугольники SDM и SDN равны.
Тогда SM  =  SN и ME  =  NF как отрезки равных апофем SE и SF. Значит, треугольники MEM' и NFN' равны как прямоугольные с равными катетами и острыми углами. Таким образом, EM'  =  FN' и, следовательно, AH'  =  AN'. Тогда треугольник AM'N'  — = сторонний, прямые M'N' и BC параллельны, а значит, плоскость DNM пересекает плоскость ABC по прямой параллельной BC и, таким образом, параллельна ей.
б)  Через точки M и N проведем плоскость, параллельную основанию пирамиды, и пусть она пересекает боковые ребра пирамиды в точках A', B' и C'. Обозначим A'M  =  A'N  =  MN  =  2a, DD'  =  D'M  =  D'N  =  b. Найдем угол DMA':

$\angle DMA'=\angle SMA' - \angle SMD = 90 ^{\circ} - альфа =60 ^{\circ}$

По теореме \cos ов имеем:
[рис.]

$( A'D' ) ^2 = 4a ^2 + 2b ^2 - 2ab $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

тогда

$AD ^2 = ( A'D' ) ^2 - ( DD' ) ^2 =4a ^2 + b ^2 - 2ab $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

С другой стороны, $A'D'=A'H - O'H$ где H  — середина MN.
Заметим, что $AH = a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$ а $D'H= $\sqrt{аргумента: b ^2 - a ^2}$ аргумента$ откуда получаем уравнение

$4a ^2 + b ^2 - 2ab $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = ( a $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: b ^2 - a ^2}$ аргумента ) ^2 = сильно b ^2 - 2ab $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента - 4a ^2 =0$

Решая это уравнение относительно $\frac{b}{a}$ получаем, что $\frac{b}{a} = $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ то есть $b=a ( $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента )$ Таким образом, $DM=DN=2a ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 )$ Тогда :

$\sin \angle MDH = $\frac{HM}{DM}$ = \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1}{4}$
$\angle MDH = \arcsin \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1}{4}$
$\angle MDN = 2\angle MDH = 2 \arcsin \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1}{4}$

Ответ: б) $2 \arcsin \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента + 1}{4}$