Решим второе неравенство системы:

$64 в степени ( x ^2 - 3x + 20 ) - 0,125 в степени ( 2x ^2 - 6x - 200 ) \leqslant0 = сильно 8 в степени ( 2x ^2 - 6x + 40 ) меньше или = 8 в степени ( - 2x ^2 + 6x + 200 ) = сильно$
$ = сильно 2x ^2 - 6x + 40\leqslant - 2x ^2 + 6x + 200 = сильно x ^2 - 3x - 40\leqslant0 = сильно - 5 меньше или = x меньше или = 8$ $ = сильно 2x ^2 - 6x + 40\leqslant - 2x ^2 + 6x + 200 = сильно$
$ = сильно x ^2 - 3x - 40\leqslant0 = сильно - 5 меньше или = x меньше или = 8$

Искомое решение  — отрезок $[ - 5;8 ]$
Решим первое неравенство системы на множестве решений второго неравенства. На отрезке отрезке $[ - 5;8 ]$ неравенство $\log_{левая} круглая скобка 11 - x ) ( x + 7 ) \cdot \log_{левая} круглая скобка x + 5 ) ( 9 - x ) \leqslant0$ определено, и его знак совпадает со знаком произведения $\frac{x + 6}{10 - x} \cdot \frac{8 - x}{x + 4}$ Поскольку на указанном отрезке числитель и знаменатель первой дроби положительны, получаем: $\frac{8 - x}{x + 4} меньше или = 0$ откуда $x меньше - 4$ или $x больше или = 8$ Тем самым, множество решений системы: $( - 5; - 4 ) \cup \{ 8 \}$

Ответ: $( - 5; - 4 ) \cup \{ 8 \}$

Приведём авторское решение.
Решим первое неравенство системы. Значения x, при которых определено первое неравенство: $ - 5 меньше x меньше - 4$ и $ - 4 меньше x меньше 9$ Рассмотрим два случая.
Первый случай: $ - 4 меньше x меньше 9$ Получаем, что $\log_{левая} круглая скобка 11 - x ) ( x + 7 ) больше 0$ $x + 5 больше 1$ Тогда

$$$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка 11 - x ) ( x + 7 ) \cdot \log_{левая} круглая скобка x + 5 ) ( 9 - x ) \leqslant0 \\[6pt] - 4 меньше x меньше 9 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка x + 5 ) ( 9 - x ) \leqslant0 \\[6pt] - 4 меньше x меньше 9 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} 0 меньше 9 - x\leqslant1 \\[6pt] - 4 меньше x меньше 9 \end{cases}$$ = сильно 8 меньше или = x меньше 9$ $$$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка 11 - x ) ( x + 7 ) \cdot \log_{левая} круглая скобка x + 5 ) ( 9 - x ) \leqslant0 \\[6pt] - 4 меньше x меньше 9 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка x + 5 ) ( 9 - x ) \leqslant0 \\[6pt] - 4 меньше x меньше 9 \end{cases}$$ = сильно $$\begin{cases} 0 меньше 9 - x\leqslant1 \\[6pt] - 4 меньше x меньше 9 \end{cases}$$ = сильно 8 меньше или = x меньше 9$ $$$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка 11 - x ) ( x + 7 ) \cdot \log_{левая} круглая скобка x + 5 ) ( 9 - x ) \leqslant0 \\[6pt] - 4 меньше x меньше 9 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \log_{левая} круглая скобка x + 5 ) ( 9 - x ) \leqslant0 \\[6pt] - 4 меньше x меньше 9 \end{cases}$$ = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 0 меньше 9 - x\leqslant1 \\[6pt] - 4 меньше x меньше 9 \end{cases}$$ = сильно 8 меньше или = x меньше 9$

Второй случай: $ - 5 меньше x меньше - 4$ Получаем, что $\log_{левая} круглая скобка x + 5 ) ( 9 - x ) меньше 0$ $\log_{левая} круглая скобка 11 - x ) ( x + 7 ) больше 0$ следовательно, при $ - 5 меньше x меньше - 4$ первое неравенство исходной системы верно.
Решение первого неравенства исходной системы: $( - 5; - 4 ) \cup [ 8; 9 )$
Решим второе неравенство системы:

$64 в степени ( x ^2 - 3x + 20 ) - 0,125 в степени ( 2x ^2 - 6x - 200 ) \leqslant0 = сильно 8 в степени ( 2x ^2 - 6x + 40 ) меньше или = 8 в степени ( - 2x ^2 + 6x + 200 ) = сильно$
$ = сильно 2x ^2 - 6x + 40\leqslant - 2x ^2 + 6x + 200 = сильно x ^2 - 3x - 40\leqslant0 = сильно - 5 меньше или = x меньше или = 8$ $ = сильно 2x ^2 - 6x + 40\leqslant - 2x ^2 + 6x + 200 = сильно$
$ = сильно x ^2 - 3x - 40\leqslant0 = сильно - 5 меньше или = x меньше или = 8$

Решение второго неравенства системы: $[ - 5; 8 ]$
Пересекая полученные множества решений, находим решение исходной системы неравенств: $( - 5; - 4 ) \cup \{ 8 \}$

Примечание.
Укажем ещё один способ решить первое неравенство. Заметим, что область его определения  — множество $( - 5; - 4 ) \cup ( - 4; 9 )$ На этом множестве основание и аргумент множителя $\log_{левая} круглая скобка 11 - x ) ( x + 7 )$ оба больше 1, поэтому он положителен. Тогда остаётся решить неравенство $\log_{левая} круглая скобка x + 5 ) ( 9 - x ) меньше или = 0$ что на ОДЗ даёт $( x + 4 ) ( 8 - x ) меньше или = 0$ откуда $x меньше или = 4 x больше или = 8$ и окончательно с учётом ОДЗ: $( - 5; - 4 ) \cup [ 8; 9 )$ Учитывая множество решений второго неравенства, получим $( - 5; - 4 ) \cup \{ 8 \}$