Математика. Профильный уровень

Из графика находим, что угловой коэффициент прямой $k = \frac{7}{4}$ С другой стороны

$k = $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ = $\frac{f ( - 1 ) - f ( - 5 )}{ - 1 - ( - 5 )}$ = \frac{ - 3 - f ( - 5 )}{4}$

откуда $\frac{ - 3 - f ( - 5 )}{4} = \frac{7}{4}$ и потому $f ( - 5 ) = - 10$

Ответ: $f ( - 5 ) = - 10$

Приведем другое решение.
Заметим, что для линейной функции

$k= $\frac{f ( x_1 ) - f ( x_2 )}{x_1 - x_2}$ = $\frac{4 - ( - 3 )}{3 - ( - 1 )}$ = \frac{7}{4}$

Для точки с координатами (3; 4) получим:

$4= $\frac{7}{4}$ \cdot 3 + b = сильно b= - \frac{5}{4}$

Тогда $f ( x ) = $\frac{7}{4}$ x - \frac{5}{4}$ а потому

$f ( - 5 ) = $\frac{7}{4}$ \cdot ( - 5 ) - $\frac{5}{4}$ = - 10$

По рисунку определяем, что $f ( - 1 ) = - 3$ $f ( 3 ) =4$ тогда

$$$\begin{cases} - 3=k \cdot ( - 1 ) + b \\[6pt] 4=k \cdot 3 + b \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} k= $\frac{7}{4}$ \\[6pt] b= - $\frac{5}{4}$ . \end{cases}$$$

Значит, $f ( x ) = $\frac{7}{4}$ x - \frac{5}{4}$ решим уравнение $f ( x ) = - 13,5$ :

$\frac{7}{4} x - $\frac{5}{4}$ = - 13,5 = сильно $\frac{7}{4}$ x - $\frac{5}{4}$ = - $\frac{54}{4}$ = сильно 7x= - 49 = сильно x= - 7$

Ответ: −7.

Заметим, что уравнение прямой имеет вид y  =  kx + b.
Найдём уравнение прямой, отмеченной на рисунке оранжевым цветом. Заметим, что k  — \text{tg} угла наклона прямой, тогда $k= $\frac{4}{1}$ =4$ По графику, f(−2)  =  1, отсюда $4 \cdot ( - 2 ) + b=1 = сильно b=9$ Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y=4x + 9$
Найдём уравнение прямой, отмеченной на рисунке синим цветом. Заметим, что k  — \text{tg} угла наклона прямой, тогда $k= $\frac{3}{2}$ =1,5$ По графику, f(3)  =  1, отсюда $1,5 \cdot 3 + b=1 = сильно b= - 3,5$ Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y=1,5x - 3,5$
Теперь найдём абсциссу точки пересечения функций:

$4x + 9=1,5x - 3,5 = сильно 2,5x= - 12,5 = сильно x= - 5$

Ответ: −5.

Заметим, что уравнение прямой имеет вид y  =  kx + b.
Найдём уравнение функции, отмеченной на рисунке оранжевым цветом. Заметим, что k  — \text{tg} угла наклона прямой, тогда $k= $\frac{4}{1}$ =4$ По графику f(−2)  =  1, отсюда $4 \cdot ( - 2 ) + b=1 = сильно b=9$ Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y=4x + 9$
Найдём уравнение функции, отмеченной на рисунке синим цветом. Заметим, что k  — \text{tg} угла наклона прямой, тогда $k= $\frac{3}{2}$ =1,5$ По графику f(3)  =  1, отсюда $1,5 \cdot 3 + b=1 = сильно b= - 3,5$ Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y=1,5x - 3,5$
Теперь найдём абсциссу точки пересечения функций:

$4x + 9=1,5x - 3,5 = сильно 2,5x= - 12,5 = сильно x= - 5$

Тогда ордината точки пересечения функций равна $f ( - 5 ) =4 \cdot ( - 5 ) + 9= - 11$

Ответ: −11.

Заметим, что уравнение прямой имеет вид y  =  kx + b.
Найдём уравнение прямой, отмеченной на рисунке оранжевым цветом. Заметим, что k  — \text{tg} угла наклона прямой, тогда $k= - $\frac{5}{1}$ = - 5$ По графику y(−1)  =  −1, отсюда $ - 5 \cdot ( - 1 ) + b= - 1 = сильно b= - 6$ Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y= - 5x - 6$
Найдём уравнение прямой, отмеченной на рисунке синим цветом. Заметим, что k  — \text{tg} угла наклона прямой, тогда $k= - $\frac{3}{3}$ = - 1$ По графику y(2)  =  −1, отсюда $ - 1 \cdot 2 + b= - 1 = сильно b=1$ Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y= - x + 1$
Теперь найдём абсциссу точки пересечения функций:

$ - 5x - 6= - x + 1 = сильно - 4x=7 = сильно x= - $\frac{7}{4}$ = - 1,75$

Тогда ордината точки пересечения графиков функций равна $y ( - 1,75 ) = - ( - 1,75 ) + 1=2,75$

Ответ: 2,75.

Из рисунка видно, что $f ( - 2 ) = - 2$ $f ( 1 ) =1$ Следовательно,

$$$\begin{cases} 2 \cdot ( - 2 ) ^2 + b \cdot ( - 2 ) + c = - 2 \\[6pt] 2 \cdot 1 ^2 + b \cdot 1 + c = 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - 2b + c= - 10 \\[6pt] b + c= - 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 3b=9 \\[6pt] 3c= - 12 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} b=3 \\[6pt] c= - 4. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 2 \cdot ( - 2 ) ^2 + b \cdot ( - 2 ) + c = - 2 \\[6pt] 2 \cdot 1 ^2 + b \cdot 1 + c = 1 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} - 2b + c= - 10 \\[6pt] b + c= - 1 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 3b=9 \\[6pt] 3c= - 12 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} b=3 \\[6pt] c= - 4. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 2 \cdot ( - 2 ) ^2 + b \cdot ( - 2 ) + c = - 2 \\[6pt] 2 \cdot 1 ^2 + b \cdot 1 + c = 1 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} - 2b + c= - 10 \\[6pt] b + c= - 1 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 3b=9 \\[6pt] 3c= - 12 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} b=3 \\[6pt] c= - 4. \end{cases}$$$

Тогда, $f ( x ) =2x ^2 + 3x - 4$ значит, $f ( - 5 ) =2 \cdot ( - 5 ) ^2 + 3 \cdot ( - 5 ) - 4=31$

Ответ: 31.

Из рисунка видно, что вершина параболы расположена в точке $x_0=1$ при этом $y_0=f ( x_0 ) = - 6$ Следовательно, $f ( x ) =a ( x - 1 ) ^2 - 6$ заметим, что $f ( 3 ) =2$ откуда

$a ( 3 - 1 ) ^2 - 6=2 = сильно 4a=8 = сильно a=2$

Значит, $f ( x ) =2 ( x - 1 ) ^2 - 6$ вычислим теперь $f ( - 3 ) =2 ( - 3 - 1 ) ^2 - 6=26$

Ответ: 26.

Приведём другое решение:
Из рисунка видно, что $f ( 1 ) = - 6$ $f ( 3 ) =2$ Следовательно,

$$$\begin{cases} a \cdot 1 ^2 - 4 \cdot 1 + c = - 6 \\[6pt] a \cdot 3 ^2 - 4 \cdot 3 + c = 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a + c= - 2 \\[6pt] 9a + c=14 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 8a=16 \\[6pt] 8c= - 32 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} a=2 \\[6pt] c= - 4. \end{cases}$$$

Тогда, $f ( x ) =2x ^2 - 4x - 4$ значит, $f ( - 3 ) =2 \cdot ( - 3 ) ^2 - 4 \cdot ( - 3 ) - 4=26$

Ответ: 26.

Из рисунка видно, что $f ( - 2 ) = 4a - 2b - 6 = - 4$ $f ( 1 ) = a + b - 6 = - 1$ Решая эту систему, находим $a = 2$ $b = 3$ Следовательно,

$f ( - 6 ) = 2 \cdot 36 - 3 \cdot 6 - 6 = 72 - 18 - 6 = 48$

Ответ: 48.

По рисунку определяем, что перед нами парабола вида $y=x ^2$ (то есть $a=1$ ), с вершиной в точке $( - 3; - 5 )$ поэтому $f ( x ) = ( x + 3 ) ^2 - 5$ Тогда

$f ( - 9 ) = ( - 9 + 3 ) ^2 - 5=36 - 5=31$

Ответ: 31.

Приведём другое решение.
Из рисунка видно, что $f ( - 5 ) = - 1$ $f ( - 3 ) = - 5$ $f ( - 2 ) = - 4$ следовательно,

$f ( - 5 ) - f ( - 3 ) =a ( 25 - 9 ) + b ( - 5 + 3 ) = - 1 + 5 = сильно 16a - 2b=4$
$f ( - 3 ) - f ( - 2 ) =a ( 9 - 4 ) + b ( - 3 + 2 ) = - 5 + 4 = сильно 5a - b= - 1$

Решая полученную систему, находим: a  =  1, b  =  6, c  =  4. Тогда

$f ( - 9 ) = ( - 9 ) ^2 + 6 \cdot ( - 9 ) + 4=81 - 54 + 4=31$

Ответ: 31.

Из рисунка видно, что вершина параболы расположена в точке $x_0= - 3$ при этом $y_0=f ( x_0 ) = - 5$ Следовательно, $f ( x ) =a ( x + 3 ) ^2 - 5$ заметим, что $f ( - 1 ) = - 1$ откуда

$a ( - 1 + 3 ) ^2 - 5= - 1 = сильно 4a=4 = сильно a=1$

Значит, $f ( x ) = ( x + 3 ) ^2 - 5$ вычислим теперь $f ( 1 ) = ( 1 + 3 ) ^2 - 5=11$

Ответ: 11.

График функции $f ( x ) =4x ^2 - 25x + 41$ должен пересекать ось ординат в точке $( 0; 41 )$ Значит, график $y=f ( x )$ изображен синим цветом, а график $y=g ( x )$   — оранжевым. По рисунку определяем, что g(−3)  =  2, g(−1)  =  −2, g(2)  =  7. Тогда

$g ( - 3 ) - g ( - 1 ) =a ( 9 - 1 ) + b ( - 3 + 1 ) =8a - 2b=2 - ( - 2 ) = сильно 8a - 2b=4$ $g ( - 3 ) - g ( - 1 ) =a ( 9 - 1 ) + b ( - 3 + 1 ) =8a - 2b=2 - ( - 2 ) = сильно$
$ = сильно 8a - 2b=4$
$g ( - 1 ) - g ( 2 ) =a ( 1 - 4 ) + b ( - 1 - 2 ) = - 3a - 3b= - 2 - 7 = сильно - 3a - 3b= - 9$ $g ( - 1 ) - g ( 2 ) =a ( 1 - 4 ) + b ( - 1 - 2 ) = - 3a - 3b= - 2 - 7 = сильно$
$ = сильно - 3a - 3b= - 9$

Решая полученную систему, получаем: a  =  1, b  =  2, из g(2)  =  7 получим c  =  −1. Теперь найдём абсциссу точки B:

$4x ^2 - 25x + 41=x ^2 + 2x - 1 = сильно x ^2 - 9x + 14=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x= \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} ,x= \frac{9 - $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=7,x=2. \end{array} \right.$ $4x ^2 - 25x + 41=x ^2 + 2x - 1 = сильно x ^2 - 9x + 14=0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x= \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} ,x= \frac{9 - $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=7,x=2. \end{array} \right.$

Таким образом, ответ  — 7.

Ответ: 7.

График функции $f ( x ) =4x ^2 - 25x + 41$ пересекает ось ординат в точке $( 0; 41 )$ Значит, график $y=f ( x )$ изображен синим цветом, а график $y=g ( x )$   — оранжевым. Найдем формулу, задающее функцию g. При изменении абсциссы точки вершины графика на 1 ед. ордината увеличивается на 1 ед. Следовательно, $a=1$ Абсцисса вершины параболы $x_в = - \frac{b}{} 2a = - 1$ поэтому $b = 2a =2$ Парабола пересекает ось ординат в точке (0; −1), поэтому $c = - 1$ Таким образом, $g ( x ) = x ^2 + 2x - 1$
Теперь найдём абсциссу точки B:

$4x ^2 - 25x + 41=x ^2 + 2x - 1 = сильно x ^2 - 9x + 14=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x= \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} ,x= \frac{9 - $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=7,x=2. \end{array} \right.$ $4x ^2 - 25x + 41=x ^2 + 2x - 1 = сильно x ^2 - 9x + 14=0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x= \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} ,x= \frac{9 - $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=7,x=2. \end{array} \right.$

Ордината точки B равна $g ( 7 ) =49 + 14 - 1=62$

Ответ: 62.

Приведем другое решение.
По рисунку определяем, что g(−3)  =  2, g(−1)  =  −2, g(2)  =  7. Тогда

$g ( - 3 ) - g ( - 1 ) =a ( 9 - 1 ) + b ( - 3 + 1 ) =8a - 2b=2 - ( - 2 ) = сильно 8a - 2b=4$ $g ( - 3 ) - g ( - 1 ) =a ( 9 - 1 ) + b ( - 3 + 1 ) =8a - 2b=2 - ( - 2 ) = сильно$
$ = сильно 8a - 2b=4$
$g ( - 1 ) - g ( 2 ) =a ( 1 - 4 ) + b ( - 1 - 2 ) = - 3a - 3b= - 2 - 7 = сильно - 3a - 3b= - 9$ $g ( - 1 ) - g ( 2 ) =a ( 1 - 4 ) + b ( - 1 - 2 ) = - 3a - 3b= - 2 - 7 = сильно$
$ = сильно - 3a - 3b= - 9$

Решая полученную систему, получаем: a  =  1, b  =  2. Из условия g(2)  =  7 определяем, что c  =  −1. Теперь найдём абсциссу точки B:

$4x ^2 - 25x + 41=x ^2 + 2x - 1 = сильно x ^2 - 9x + 14=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x= \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} ,x= \frac{9 - $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=7,x=2. \end{array} \right.$ $4x ^2 - 25x + 41=x ^2 + 2x - 1 = сильно x ^2 - 9x + 14=0 = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} x= \frac{9 + $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} ,x= \frac{9 - $\sqrt{аргумента: 81 - 56}$ аргумента}{2} \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=7,x=2. \end{array} \right.$

Тогда ордината точки B равна $g ( 7 ) =49 + 14 - 1=62$

Ответ: 62.

Из рисунка видно, что вершина параболы расположена в точке $x_0 = - 4$ при этом $y_0 = f ( x_0 ) = - 3$ Следовательно, $f ( x ) = a ( x + 4 ) ^2 - 3$ Так как $f ( - 3 ) = - 2$ то $a = 1$ Вычислим теперь: $f ( - 12 ) = ( - 12 + 4 ) ^2 - 3 = 61$

Ответ: 61.

График функции имеет горизонтальную асимптоту y  =  1, значит, a  =  1. По графику f(3)  =  2, тогда $\frac{k}{3} + 1=2 = сильно k=3$ Таким образом,

$f ( - 12 ) = $\frac{3}{ - 12}$ + 1= - $\frac{1}{4}$ + 1= $\frac{3}{4}$ =0,75$

Ответ: 0,75.

График функции имеет горизонтальную асимптоту y  =  1, значит, a  =  1. По графику f(3)  =  2, тогда $\frac{k}{3} + 1=2 = сильно k=3$ Таким образом,

$\frac{3}{x} + 1=0,8 = сильно x= - $\frac{3}{0,2}$ = - 15$

Ответ: −15.