Найдем производную заданной функции:

$y'=3x ^2 - 4x + 1$

Найдем нули производной:

$$$\begin{cases} новая строка 3x ^2 - 4x + 1=0 \\[6pt] новая строка 1 меньше или = x меньше или = 4 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x=1 \\[6pt] x= $\frac{1}{3}$ \end{cases}$$ . 1 меньше или = x меньше или = 4 . \end{array} \right. \Rightarrow x=1$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

[рис.]

В точке $x=1$ заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

$y ( 1 ) =1 - 2 + 1 + 3=3$

Ответ: 3.

Примечание.
Заметим, что на рисунке расставлены знаки не на всей числовой оси, а только на ее части. В частности, знак « - » соответствует не промежутку от - бесконечности до 1, а промежутку от $\frac{1}{3}$ до 1. Заинтересованный читатель может отметить на числовой оси точки $\frac{1}{3}$ и 1 и расставить знаки на всех промежутках.