Математика. Профильный уровень

Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке $x_max= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке −2. Поскольку функция $y= \sqrt{x}$ возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

Ответ: −2.

Квадратный трехчлен $y = ax ^2 + bx + c$ с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке $x_min = - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке 3. Функция $y = $\sqrt{аргумента: x}$ аргумента$ возрастающая, заданная функция определена при найденном значении переменной, поэтому она достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума подкоренное выражение.

Ответ: 3.

Выделим полный квадрат:

$y= $\sqrt{аргумента: x ^2 - 6x + 13}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ^2 + 4}$ аргумента$

Отсюда имеем:

$y= $\sqrt{аргумента: ( x - 3 ) ^2 + 4}$ аргумента больше или = $\sqrt{4}$ = 2$

Поэтому наименьшее значение функции достигается в точке 3, и оно = 2.

Ответ: 2.

Приведем другое решение.
Поскольку функция $y= \sqrt{x}$ возрастающая, а подкоренное выражение положительно при всех значениях переменной, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения подкоренное выражение. Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке $x= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке 3, и оно =  4. Следовательно, наименьшее значение заданной функции $y_нм= $\sqrt{4}$ = 2$

Выделим полный квадрат:

$y= $\sqrt{аргумента: 5 - 4x - x ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 - ( x + 2 ) ^2}$ аргумента$

Отсюда имеем:

$y= $\sqrt{аргумента: 9 - ( x + 2 ) ^2}$ аргумента меньше или = $\sqrt{9}$ = 3$

Поэтому наибольшее значение функции достигается в точке −2, и оно =  3.

Ответ: 3.

Приведем другое решение.
Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке $x= - \frac{b}{2a}$ В нашем случае наибольшее значение достигается в точке −2 и =  9. Поскольку функция $y= \sqrt{x}$ возрастает и определена в точке 9, для исходной функции $y= $\sqrt{аргумента: 5 - 4x - x ^2}$ аргумента$ имеем: $y_нб= $\sqrt{9}$ = 3$

Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке $x_max= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке 1. Поскольку функция $y= \log_{2} x$ возрастает и функция $y= \log_{2} ( 2 + 2x - x ^2 ) - 2$ определена в точке 1, она также достигает в ней максимума.

Ответ: 1.

Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке $x_min= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке 3. Поскольку функция $y= \log_{5} x$ возрастает и заданная функция $y= \log_{5} ( x ^2 - 6x + 12 ) + 2$ определена в точке 3, она также достигает в ней минимума.

Ответ: 3.

Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке $x= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке 3. Функция $y= \log_{3} ( x ^2 - 6x + 10 ) + 2$ в этой точке определена и принимает значение $\log_{3} ( 3 ^2 - 6 \cdot 3 + 10 ) + 2=2$ Поскольку \log ическая функция с основанием, большим 1, возрастает, найденное значение является искомым наименьшим значением заданной функции.

Ответ: 2.

Поскольку функция $y= \log_{5} x$ возрастающая, она достигает наибольшего значения в той точке, в которой достигает наибольшего значения выражение, стоящее под знаком \log а. Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке $x= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке −1. Значение функции в этой точке $y= \log_{5} ( 4 - 2 \cdot ( - 1 ) - ( - 1 ) ^2 ) + 3=4$

Ответ: 4.

Поскольку функция $y=11 в степени x$ возрастающая, заданная функция достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума выражение $6x - x ^2$ Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке $x_max= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке 3.

Ответ: 3.

Поскольку функция $y=7 в степени x$ возрастающая, заданная функция достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума выражение $x ^2 + 2x + 3$ Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке $x_min= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке −1.

Ответ: −1.

Поскольку функция $y=2 в степени x$ возрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение $x ^2 + 2x + 5$ Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке $x= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке −1. Значение функции в этой точке = $y=2 в степени ( ( - 1 ) ^2 + 2 ( - 1 ) + 5 ) =16$

Ответ: 16.

Поскольку функция $y=3 в степени x$ возрастающая, заданная функция достигает наибольшего значения в той же точке, в которой достигает наибольшего значения выражение $ - 7 - 6x - x ^2$ Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке $x= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке −3. Значение функции в этой точке = $y=3 в степени ( - 7 - 6 ( - 3 ) - ( - 3 ) ^2 )$

Ответ: 9.

Оценим \log , выделив полный квадрат. В силу убывания \log ической функции с основанием меньше 1 справедлива цепочка соотношений:

$\log_{левая} круглая скобка $\frac{1}{3}$ ) { ( x ^2 + 6x + 12 ) = \log_{левая} круглая скобка $\frac{1}{3}$ ) { ( ( x + 3 ) ^2 + 3 ) меньше или = \log_{левая} круглая скобка $\frac{1}{3}$ ) 3 = - 1$

Поэтому в точке −3, лежащей на отрезке [−19; −1], функция достигает наибольшего значения, = го −1.

Ответ: −1.

Поскольку функция $y=7 в степени x$ возрастающая, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения выражение $x ^2 - 2x + 3$ Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке $x= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке 1. Значение функции в этой точке = $y=7 в степени ( 1 ^2 - 2 + 3 ) =49$

Ответ: 49.

Квадратный трехчлен $y=ax ^2 + bx + c$ с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке $x_max= - \frac{b}{2a}$ в нашем случае  — в точке 6. Поскольку функция $y= \sqrt{x}$ возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

Ответ: 6.