Заметим, что $\sqrt{a} ^2 = |a|$ $\log_{a} b в степени n = n \log_{a} b$ $\log_{левая} круглая скобка a в степени ( - 1 ) ) b = - \log_{a} b$ а потому неравенство можно записать в виде

$\left|2 ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) |x - 2| + 1 ) | больше или = - 3 ( \log_{левая} круглая скобка x + 1 ) |x - 2| + 1 )$

Обозначая $\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) |x - 2| + 1=t$ получаем $|2t|\geqslant - 3t$ откуда

$|2t|\geqslant - 3t = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} 2t\geqslant - 3t \\[6pt] t больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} - 2t\geqslant - 3t \\[6pt] t\leqslant0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} t больше 0,t=0 \end{array} \right. . = сильно t\geqslant0$

Вернёмся к исходной переменной:

$\log_{левая} круглая скобка x + 1 ) |x - 2| + 1\geqslant0 = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x - 2 больше или = $\frac{1}{x + 1}$ \\[6pt] x больше 2 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} 2 - x больше или = $\frac{1}{x + 1}$ \\[6pt] 0 меньше x меньше 2 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} 2 - x меньше или = $\frac{1}{x + 1}$ \\[6pt] - 1 меньше x меньше 0. \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Решим каждую из систем полученной совокупности
Первая система:

$$$\begin{cases} x - 2 больше или = $\frac{1}{x + 1}$ \\[6pt] x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 - x - 3\geqslant0 \\[6pt] x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . ,x больше 2 \end{array} \right. . = сильно x больше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2}$ $$$\begin{cases} x - 2 больше или = $\frac{1}{x + 1}$ \\[6pt] x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 - x - 3\geqslant0 \\[6pt] x больше 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . ,x больше 2 \end{array} \right. . = сильно x больше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{2}$

Вторая система:

$$$\begin{cases} 2 - x больше или = $\frac{1}{x + 1}$ \\[6pt] 0 меньше x меньше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - x ^2 + x + 1\geqslant0 \\[6pt] 0 меньше x меньше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} \\[6pt] 0 меньше x меньше 2 \end{cases}$$ . = сильно 0 меньше x меньше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$ $$$\begin{cases} 2 - x больше или = $\frac{1}{x + 1}$ \\[6pt] 0 меньше x меньше 2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - x ^2 + x + 1\geqslant0 \\[6pt] 0 меньше x меньше 2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} меньше или = x меньше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} \\[6pt] 0 меньше x меньше 2 \end{cases}$$ . = сильно 0 меньше x меньше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$

Третья система:

$$$\begin{cases} 2 - x меньше или = $\frac{1}{x + 1}$ \\[6pt] - 1 меньше x меньше 0. \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - x ^2 + x + 1\leqslant0 \\[6pt] - 1 меньше x меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . , - 1 меньше x меньше 0 \end{array} \right. . = сильно - 1 меньше x меньше или = \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$ $$$\begin{cases} 2 - x меньше или = $\frac{1}{x + 1}$ \\[6pt] - 1 меньше x меньше 0. \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} - x ^2 + x + 1\leqslant0 \\[6pt] - 1 меньше x меньше 0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} x меньше или = \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} \\[6pt] x больше или = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} \end{cases}$$ . , - 1 меньше x меньше 0 \end{array} \right. . = сильно - 1 меньше x меньше или = \frac{1 - $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2}$

Объединяя результаты, получаем ответ.

Ответ: $( - 1; \frac{1 - $\sqrt{5}$}{2} ] \cup ( 0; \frac{1 + $\sqrt{5}$}{2} ] \cup [ \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 13}${} аргумента} 2; + бесконечность )$