a) Решите уравнение $\log_{3} x \cdot \log_{3} ( 4x ^2 - 1 ) = \log_{3} \frac{x ( 4x ^2 - 1 )}{3}$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \log_{5} 2; \log_{5} 27 ]$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \log_{5} 2; \log_{5} 27 ]$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Уравнение имеет вид
$\log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} $\frac{ab}{3}$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} a + \log_{3} b - 1 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b - \log_{3} a - \log_{3} b + 1=0 = сильно \log_{3} a ( \log_{3} b - 1 ) - ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( \log_{3} a - 1 ) ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} a=1, \log_{3} b=1. \end{array} \right.$ $\log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} $\frac{ab}{3}$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} a + \log_{3} b - 1 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b - \log_{3} a - \log_{3} b + 1=0 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a ( \log_{3} b - 1 ) - ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( \log_{3} a - 1 ) ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} a=1, \log_{3} b=1. \end{array} \right.$ $\log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} $\frac{ab}{3}$ = сильно$
$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} a + \log_{3} b - 1 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b - \log_{3} a - \log_{3} b + 1=0 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a ( \log_{3} b - 1 ) - ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( \log_{3} a - 1 ) ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} a=1, \log_{3} b=1. \end{array} \right.$
Тогда:
$\log_{3} x \cdot \log_{3} ( 4x ^2 - 1 ) = \log_{3} $\frac{x ( 4x ^2 - 1 )}{3}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} ( 4x ^2 - 1 ) =1, \log_{3} x = 1 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} 4x ^2 - 1=3 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x=3 \\[6pt] 4x ^2 - 1 больше 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x ^2 =1 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . x=3 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,x=3. \end{array} \right.$ $\log_{3} x \cdot \log_{3} ( 4x ^2 - 1 ) = \log_{3} $\frac{x ( 4x ^2 - 1 )}{3}$ = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} ( 4x ^2 - 1 ) =1, \log_{3} x = 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} 4x ^2 - 1=3 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x=3 \\[6pt] 4x ^2 - 1 больше 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x ^2 =1 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . x=3 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,x=3. \end{array} \right.$
б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \log_{5} 2; \log_{5} 27 ]$ Заметим, что $2 меньше 5 меньше 27 меньше 125$ тогда
$\log_{5} 2 меньше \log_{5} 5 меньше \log_{5} 27 меньше \log_{5} 125$
Следовательно, $\log_{5} 2 меньше 1 меньше \log_{5} 27 меньше 3$ Значит, отрезку $[ \log_{5} 2; \log_{5} 27 ]$ принадлежит только корень $x=1$
Ответ: a) $\{ 1; 3 \}$ б) $1$
$\log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} $\frac{ab}{3}$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} a + \log_{3} b - 1 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b - \log_{3} a - \log_{3} b + 1=0 = сильно \log_{3} a ( \log_{3} b - 1 ) - ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( \log_{3} a - 1 ) ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} a=1, \log_{3} b=1. \end{array} \right.$ $\log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} $\frac{ab}{3}$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} a + \log_{3} b - 1 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b - \log_{3} a - \log_{3} b + 1=0 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a ( \log_{3} b - 1 ) - ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( \log_{3} a - 1 ) ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} a=1, \log_{3} b=1. \end{array} \right.$ $\log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} $\frac{ab}{3}$ = сильно$
$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b = \log_{3} a + \log_{3} b - 1 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a \cdot \log_{3} b - \log_{3} a - \log_{3} b + 1=0 = сильно$
$ = сильно \log_{3} a ( \log_{3} b - 1 ) - ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно$
$ = сильно ( \log_{3} a - 1 ) ( \log_{3} b - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} a=1, \log_{3} b=1. \end{array} \right.$
Тогда:
$\log_{3} x \cdot \log_{3} ( 4x ^2 - 1 ) = \log_{3} $\frac{x ( 4x ^2 - 1 )}{3}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} ( 4x ^2 - 1 ) =1, \log_{3} x = 1 \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} 4x ^2 - 1=3 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x=3 \\[6pt] 4x ^2 - 1 больше 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x ^2 =1 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . x=3 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,x=3. \end{array} \right.$ $\log_{3} x \cdot \log_{3} ( 4x ^2 - 1 ) = \log_{3} $\frac{x ( 4x ^2 - 1 )}{3}$ = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} \log_{3} ( 4x ^2 - 1 ) =1, \log_{3} x = 1 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} 4x ^2 - 1=3 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} x=3 \\[6pt] 4x ^2 - 1 больше 0 \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно$
$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} x ^2 =1 \\[6pt] x больше 0 \end{cases}$$ . x=3 \end{array} \right. . = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,x=3. \end{array} \right.$
б) Отберём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \log_{5} 2; \log_{5} 27 ]$ Заметим, что $2 меньше 5 меньше 27 меньше 125$ тогда
$\log_{5} 2 меньше \log_{5} 5 меньше \log_{5} 27 меньше \log_{5} 125$
Следовательно, $\log_{5} 2 меньше 1 меньше \log_{5} 27 меньше 3$ Значит, отрезку $[ \log_{5} 2; \log_{5} 27 ]$ принадлежит только корень $x=1$
Ответ: a) $\{ 1; 3 \}$ б) $1$
Правильный ответ:
a) $левая фигурная скобка 1; 3 правая фигурная скобка$ б) $1$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67333 • Задание №12
Решите неравенство: $x умножить на 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию дробь: числитель: 1,...
ID 68824 • Задание №15
Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скоб...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №13 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67377
а) Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель...
ID 67378
а) Решите уравнение: $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 2 в степе...
ID 67379
а) Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая ...
ID 67380
а) Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1 правая круг...
ID 67381
а) Решите уравнение $3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус дробь: числитель: ...