На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6).
Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что все полученные суммы равны.
а) Могло ли быть 2 кучки?
б) Могло ли быть 5 кучек?
в) Какое наибольшее количество кучек могло быть?
Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что все полученные суммы равны.
а) Могло ли быть 2 кучки?
б) Могло ли быть 5 кучек?
в) Какое наибольшее количество кучек могло быть?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Разложим все доминошки по парам, дополняя числа на доминошке до шести (например, с доминошкой $5 - 2$ положим $1 - 4$ ), а доминошки с суммой чисел 6 (их 4 штуки, и они дают пару сами себе) просто разложим на две пары. Тогда в каждой паре сумма одна и та же (12).
а) Соберем в одну кучку любые 7 пар, во вторую — остальные 7 пар.
б) Общая сумма на всех доминошках равна $12 \cdot 14=168$ что не кратно 5, поэтому сделать 5 одинаковых кучек не получится.
в) На 14 кучек мы уже разложили (пары, описанные в начале задачи). Если кучек будет больше, то в каждой из них сумма будет меньше $\frac{168}{14} =12$ что невозможно для той кучки, в которую попадет костяшка $6 - 6$
Ответ: а) да, б) нет, в) 14.
а) Соберем в одну кучку любые 7 пар, во вторую — остальные 7 пар.
б) Общая сумма на всех доминошках равна $12 \cdot 14=168$ что не кратно 5, поэтому сделать 5 одинаковых кучек не получится.
в) На 14 кучек мы уже разложили (пары, описанные в начале задачи). Если кучек будет больше, то в каждой из них сумма будет меньше $\frac{168}{14} =12$ что невозможно для той кучки, в которую попадет костяшка $6 - 6$
Ответ: а) да, б) нет, в) 14.
Правильный ответ:
а) да, б) нет, в) 14
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65987 • Задание №8
Решите систему уравнений $система выражений новая строка 81 в степени левая круглая скобка синус y правая круг...
ID 70642 • Задание №17
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
$система выражений новая строка x в квадрате ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2
Верно получен один из следующих результатов:
— пример в п. а;
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 4
🔗 Другие задания линии №19 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 71382
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Може...
ID 71383
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71384
За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. В ...
ID 71385
Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.
а) Может ли вы...
ID 71386
Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, ...